Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Эффективность и асимптотическая нормальность МП-оценок

18.15 Рассматривая эффективность МП-оценок, мы уже не получаем таких же четких результатов, как в 18.10. Следующий пример с достаточной ясностью показывает, что для получения оптимальных свойств МП-оценок, связанных, с эффективностью, следует ввести некоторые ограничения.

Пример 18.5

В примере 17.22 было показано, что в случае распределения

для не имеется единственной достаточной статистики, но пара крайних наблюдений совместно достаточна для 0. Найдем теперь МП-оценку для . Для этого надо максимизировать ФП примера 18.1. Так как

то

будет МП-оценкой. Мы видим, что зависит только от хотя для достаточности необходимы обе статистики

Далее, из соображений симметрии следует, что имеют одну и ту же дисперсию, скажем Дисперсия МП-оценки равна

а для дисперсии оценки

имеем

Так как асимптотически независимы (см. 14.23), то функция

будет, подобно и 0, состоятельной оценкой для 0, причем ее дисперсия

обращается в минимум (см. упражнение 17.21) при

Этот минимум равен

Таким образом, для всех

т. е. МП-оценка имеет большую дисперсию. При больших дисперсия примерно в два раза больше дисперсии 0.

18.16 Теперь мы покажем, следуя Крамеру (1946), что если ФП имеет две производные по в интервале, включающем истинное значение если, кроме того,

и математическое ожидание

существует и отлично от нуля в указа ином интервале, то МП-оценка асимптотически нормально распределена со средним и дисперсией

По формуле Тейлора имеем

где заключено между и При наших предположениях регулярности является корнем (18.5), поэтому левая часть (18.81) равна нулю, и мы можем написать

Так как -состоятельная оценка для а находится между и то из (18.24) и (18.30) следует, что знаменатель в правой части (18.32) стремится к единице:

Числитель же есть поделенная на сумма независимых одинаково распределенных случайных величин Эта сумма имеет среднее нуль (в силу и дисперсию даваемую (18.30). Следовательно, согласно центральной предельной теореме (7.26) числитель будет асимптотически нормально распределен со средним и дисперсией 1. То же самое можно сказать о всей правой части (18.32). Таким образом, левая часть (18.32) асимптотически является стандартной нормальной величиной. Другими словами, МП-оценка асимптотически нормально распределена со средним и дисперсией

Даниэле (1961) ослабил сформулированное выше условие асимптотической нормальности и эффективности МП-оценок.

18.17 Из приведенного результата, дающего для МП-оценки асимптотическую дисперсию, равную МГД, вытекает, что при сформулированных выше условиях МП-оценка эффективна. Поскольку МГД может быть достигнута только при наличии достаточной статистики (см. 17.33), то правомерно сказать, что МП-оценка «асимпотически достаточна».

Ле Кам (1953) возражал против использования термина «эффективный», поскольку с ним связано представление о достижении абсолютного минимума дисперсии для больших выборок, а этот минимум, строго говоря, не достигается ни для МП-оценок, ни для каких-либо других оценок. Рассмотрим, например, состоятельную, асимптотически нормально распределенную с дисперсией порядка оценку для 8. Определим новую статистику

Поскольку

то при оценка будет для более эффективной, чем а для других значений будет столь же эффективной. Кам показал (см. также Бахадур (1964)), что подобная «сверхэффектнвность» может иметь место только для значений , образующих множество меры нуль. Учитывая это, мы сохраним термин «эффективный» в его обычном смысле. С. Р. Рао (1962b), однако, показывает, что даже этого не очень существенного парадокса можно избежать, если определить эффективность оценки в терминах ее корреляции с (ср. 17.15-17 и (17.61)). Уокер (1963) дает условия регулярности, достаточные для того, чтобы МГД ограничивала асимптотические дисперсии всех асимптотически нормальных оценок.

Пример 18.6

В примере 18.3 было показано, что МП-оценка для параметра корреляции нормированного двумерного нормального распределения является корнем кубического уравнения

Дифференцируя второй раз, получим

или, учитывая,

Следовательно, согласно 18.16 асимптотически имеем

Пример 18.7 Распределению

соответствует логарифм правдоподобия

который максимален, когда сумма минимальна, т. е. когда является медианой (см. упражнение 2.1). (Если нечетно, то медианой будет среднее наблюдение; если же четно, то в качестве медианы можно взять любое значение из интервала, концами которого служат два средних наблюдения.) Таким образом, МП-оценкой является выборочная медиана, Из (14.20) легко видеть, что ее дисперсия для больших выборок равна

В данном случае нельзя использовать результаты пункта 18.16 для проверки эффективности , поскольку требуемые условия дифференцируемости для рассматриваемого распределения не выполняются. Но поскольку производная

не существует лишь при мы имеем

так что если интерпретировать как

то получим

Отсюда следует, что МГД оценок для равна Как было показано, эта граница асимптотически достигается для 0.

18.18 Результат пункта 18.16 упрощается в случае распределения, допускающего для параметра одномерную достаточную статистику. Поскольку тогда из (18.10), (18.11) и (18.12) получаем

то отпадает необходимость в вычислении математического ожидания. МГД в этом случае равна просто — и достигается точно, если является несмещенной оценкой для 0, и асимптотически в случае выполнения условий пункта 18.16. Если не существует одномерной достаточной статистики, то асимптотическая дисперсия может быть оценена по выборке обычным образом, при этом как правило ищут несмещенную оценку.

Пример 18.8

Оценить стандартное отклонение а нормального распределения

Поскольку

то достаточной МП-оценкой будет и

Таким образом, используя (18.35), мы получим при возрастании

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление