Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Контролируемые переменные

29.47 Берксон (1950) (см. также Линдли (1953b)) привел одно соображение, показывающее, что в некоторых типах экспериментов оценивание линейной связи между двумя переменными может быть сведено к регрессионной задаче. Напомним (см. 29.4)), что соотношение

не может рассматриваться как обычная регрессия, поскольку случайная величина коррелирована с

Пусть теперь проводится эксперимент, имеющий целью определение зависимости между Предположим, что в этом эксперименте мы можем заставить принять любое заданное значение и затем измерить соответствующее значение Например, при определении зависимости между растяжением и натяжением пружины мы можем подвешивать грузики весом и измерять растяжения которые можно рассматривать как результат влияния случайной ошибки на истинное значение у. Однако наши веса тоже могли быть измерены неточно. Так, считая вес равным мы рискуем сделать это с ошибкой Повторяя эксперимент несколько раз с весом, принимаемым за мы в действительности проводим эксперименты с истинными весами измеренными с ошибками Таким образом, используемые веса равны значениям случайной величины называется контролируемой переменной, так как ее значение фиксировано заранее, тогда как неизвестное истинное значение случайно колеблется.

Пусть ошибки имеют нулевое среднее. Тогда среднее х будет равно Таким образом, причем коэффициент корреляции между равен —1. Если предположить, как и прежде, что имеют одно и то же распределение для всех то можно написать и

Подставляя в (29.118) предыдущее соотношение, находим

Соотношение (29.119) имеет вид (29.8), однако существенно отличается от последнего. Поскольку теперь уже не является случайной величиной, то ни ни 8 не коррелированы с Таким образом, (29.119) представляет собой обычное уравнение регрессии, к которому без всяких изменений можно применить обычные методы наименьших квадратов. Оценивание и проверка гипотез, касающихся этих параметров, в данном случае не вызывают трудностей.

29.48 Даже если значения, в которых контролируются сами являются случайными величинами (т. е. определяемыми с помощью некоторого процесса случайного выбора), полученные выше выводы остаются в силе, если некореллированы с Предположение относительно обычно выполнено, но с дело может обстоять сложнее. Обращаясь к предыдущему примеру, предположим, что мы случайным образом выбираем значения весов для эксперимента. Требование некоррелированности в данном случае означает, например, что с большими весами не должна быть связана тенденция к большим или меньшим ошибкам в определении истинного веса по сравнению с малыми весами. Выполнение этого условия может быть проверено только эмпирическим путем.

Не вызывает сомнения, что во многих экспериментальных ситуациях рассмотренная модель применима, часто представляет собой показание измерительного прибора, и экспериментатор обычно старается устанавливать на некоторых заранее заданных значениях (выбранных не случайно, а с намерением по возможности полно отразить некоторый диапазон изменения). Поступая таким образом, он хорошо осознает, что прибор подвержен ошибкам и не показывает точно истинные значения х. Очень приятно обнаружить, после предшествующего обсуждения трудностей, возникающих в случаях, когда измерения производятся с ошибками, что в такой распространенной экспериментальной ситуации может быть использован стандартный метод НК. Этот пример иллюстрирует общее положение, важность которого трудно переоценить: тщательный анализ источников ошибок и структуры процесса наблюдений полезен для выбора наиболее подходящего статистического метода и может, как в данном случае, привести к простому решению на первый взгляд трудной задачи.

29.49 Анализ более сложных ситуаций, когда некоторые переменные контролируемы, а некоторые — нет или когда имеются повторные наблюдения при некоторых значениях контролируемых переменных, требует тщательного уточнения рассматриваемой модели. У нас нет возможности рассматривать возникающие здесь сложности. Интересные работы в этом отношении принадлежат Андерсону (1955) и Шеффе (1958).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление