Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Три группы

29.40 Нэйр и Шривастава (1942), а также Бартлетт (1949) обратили внимание на то, что эффективность метода группировки может быть увеличена, если использовать вместо двух три группы и брать в качестве оценки угол наклона прямой, соединяющей центры тяжести двух крайних групп. (Мы уже фактически, поступили так в примере 29.4, отбросив центральное наблюдение.) Метод трех групп может быть описан следующим образом.

Разделим наблюдений на три группы, первая из которых будет содержать наблюдений, а третья — Вопрос о выборе значений будет рассмотрен ниже. Метод двух групп представляет собой частный случай, соответствующий при четном (средняя группа не содержит ни одной точки) и при нечетном (как было в примере 29.4). Рассматриваемая группировка соответствует инструментальной переменной в (29.91), принимающей значения

+1, 0 и —1 для третьей, второй и первой групп соответственно. Оценка, как и раньше, имеет вид

с той лишь разницей, символы со штрихами относятся к третьей группе, а без штрихов — к первой. Эта оценка будет состоятельной при тех же предположениях, что и раньше.

Нэйр и Шривастава (1942) и Бартлетт (1949) брали В этом случае, аналогично 29.38, мы определим объединяя внутригрупповые наблюденные дисперсии и ковариации и деля на число степеней свободы, равное теперь Как и прежде, (29.104) определяет Статистика имеет распределение степенями свободы, а статистика

не зависит от и имеет нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией Таким образом, аналогом (29.106) будет статистика

имеющая распределение Стьюдента с степенями свободы, и мы сможем, как и раньше, найти доверительные интервалы, используя Аналогично обобщаются на случай трех групп также результаты 29.39.

29.41 Вопрос об оптимальном выборе изучался для различных распределений х в предположении, что х измеряется без ошибки. В упражнении 29.11 приведен результат Бартлетта для прямоугольного распределения. Другие случаи рассматривались Тейлом и Изереном (1956) и Гибсоном и Джоуэттом (1957). В целом они указывают на то, что для довольно широкого класса симметричных распределений х следует брать приблизительно что обеспечивает эффективность 80—85% по сравнению с НК-оценкой, дающей минимальную дисперсию.

Данные об относительной эффективности двухгруппового и трехгруппового методов в случае наблюдений с ошибками неполны и противоречивы. Нэйр и Банерджи (1942) на основании выборочных экспериментов сделали вывод о том, что метод трех групп более эффективен. Однако пример, данный Мадански (1959), приводит к прямо противоположному заключению.

Пример 29.5

Примененный к данным примера 29.1 метод трех групп с приводит к трем наблюдениям в каждой группе. Находим

откуда

Полученное значение близко к значению 1,91, найденному в примере 29.4 методом двух групп, но отстоит несколько дальше от истинного значения 2.

Гальперин дает обобщение (29.108) и (29.111), при котором требуется не группировка, а предположительное знание индивидуальных значений позволяющее максимизировать вероятность получения узких доверительных границ или областей. Этот метод особенно ценен при малых

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление