Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Использование дополнительной информации: инструментальные переменные

29.33 Предположим теперь, что вместе с наблюдается случайная величина коррелированная с ненаблюдаемой истинной переменной х и некоррелированная с ошибками наблюдений. Знание очевидно, дает дополнительную информацию о значении х, которую можно попытаться использовать. Переменная называется инструментальной, поскольку она играет только вспомогательную роль при оценивании зависимости между у

и х. Мы будем считать, что измеряются относительно своих выборочных средних.

Рассмотрим следующую оценку для

которую можно записать также в виде

или

Все выборочные ковариации в (29.92) сходятся по вероятности к своим математическим ожиданиям, поэтому в силу некоррелированности из (29.92) получаем

В том и только том случае, когда

из (29.93) следует, что

т. е. оценка состоятельна. Заметим, что мы не делали относительно переменной никаких предположений, кроме ее коррелированности с х и некоррелированности с ошибками. В частности, она может быть дискретной случайной величиной. В упражнении 29.16 выясняется вопрос об эффективности См. также упражнения 29.15, 29.16.

29.34 Независимо от вида инструментальной переменной она не только позволяет нам получить состоятельную оценку (29.91) для но также, как показал Дёрбин (1954), позволяет найти доверительные границы для

В силу Поскольку переменная некоррелирована с она некоррелирована и с Отсюда следует (см. 26.23(a)), что при заданных выборочный коэффициент корреляции между распределен так, что

имеет -распределение Стьюдента с степенями свободы. Обозначая значение удовлетворяющее условию

мы получаем (учитывая монотонную зависимость от

или

Таким образом, если не считать зависимости от наблюдаемых величин соотношение (29.97) зависит только от Оно определяет доверительную область на плоскости с коэффициентом доверия ограниченную кривой второго порядка. Если параметр известен, то (29.97) дает доверительный интервал для В этом случае имеет степеней свободы, поскольку оценивается только один параметр. Позже мы увидим, что для некоторых инструментальных переменных специального вида можно получить доверительный интервал для даже при неизвестном

29.35 Обычно при использовании инструментальных переменных возникает практическая трудность нахождения такой случайной величины, относительно которой было бы известно, что она коррелирована с и некоррелирована с Лишь в редких случаях мы знаем систему настолько хорошо, чтобы быть уверенными в правильности предположений такого рода. Однако если в качестве инструментальной переменной мы берем дискретную «группирующую» величину (т. е. мы классифицируем наблюдения в соответствии с принадлежностью к определенным группам и рассматриваем эту классификацию как дискретную случайную величину), то выполнение указанных условий становится более вероятным. Действительно, из физических соображений может быть известно, что наблюдения разделяются на несколько групп, связанных с истинными значениями х, тогда как ошибки наблюдений никак не связаны с классификацией. Рассмотрим, например, зависимость между давлением и объемом, приведенную в 29.1, и предположим, что соотношение (29.2) выполнено. Логарифмируя, получаем

Последнее соотношение принадлежит к рассматриваемому нами типу с (См., однако, 29.55.)

Пусть известно, что определение объема проводилось то одним методом, то другим, причем метод 1 дает результаты, несколько отличающиеся от результатов, полученных с помощью метода 2. Классификация метод 1 — метод 2 будет тогда

коррелирована с определением объема. Ошибки же определения объема и, конечно, давления (которое вообще определяется одним методом для всех наблюдений) могут быть совершенно некоррелированными с этой классификацией. Таким образом, мы получаем инструментальную переменную специального вида, связанную с группировкой на два класса.

Инструментальные переменные такого вида мы изучим подробнее.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление