Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Линейная функциональная зависимость между несколькими переменными

29.24 Рассмотрим теперь задачу оценивания линейной функциональной зависимости переменных. Чтобы сделать обозначения симметричными, мы будем использовать переменные и фиктивную переменную 1). которые будут связаны соотношением

Все переменные, кроме о, подвержены ошибкам, так что наблюдаемые величины имеют вид

Конечно, для всех Как и раньше, мы предположим, что нормально распределены, не зависят от X и друг от друга и имеют нулевые средние; кроме того, чтобы сделать параметры идентифицируемыми, будем предполагать, что отношения дисперсий ошибок известны. Если предположить, что

где К известны, то, деля можно вообще исключить из рассмотрения. Полученные нормированные переменные будут иметь одну и ту же неизвестную дисперсию, скажем

Логарифм функции правдоподобия случайных ошибок будет иметь тогда вид

Если рассматривать наши данные как точек в -мерном пространстве, то задана будет заключаться в определении гиперплоскости (29.70). Максимизация функции правдоподобия эквивалентна минимизации двойной суммы в (29.73), представляющей собой сумму квадратов расстояний от наблюденных точек до оцененных точек X, как в (29.58). Эта сумма минимальна, когда оцененные точки X являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точек на гиперплоскость. Таким образом, МП-оценка гиперплоскости определяется так, чтобы сумма квадратов расстояний от наблюденных точек до этой плоскости была минимальна.

29.25 Сформулированная выше задача довольно часто встречается в математике. Так как расстояние точки от гиперплоскости (29.70) равно

то она заключается в минимизации суммы

Удобно сформулировать эту задачу также следующим образом: минимизировать сумму

при ограничении

В соответствии с (29.70) можно без потери общности считать константу равной 1. Тогда задача будет заключаться в нахождении безусловного минимума выражения

где неопределенный множитель Лагранжа. Дифференцируя по аполучаем

Первое из этих уравнений, соответствующее может быть отброшено, если совместить начало отсчета со средним величин т. е. выбрать его так, чтобы выполнялись соотношения

Обозначая выборочную ковариацию вариант, из (29.75) получаем к

Перенося все члены в левую часть и исключая из этой системы уравнений, находим

Если разделить строку на выборочное стандартное отклонение а столбец — на и обозначить выборочные коэффициенты корреляции, то (29.77) примет вид

где

Можно решить (29.78) относительно и найти затем с помощью (29.76). На практике обычно используется итерационный процесс, при котором а вычисляются одновременно. Полу ченные решения будут МП-оценками для

Заметим, что (29.78) является уравнением степени относительно и имеет корней (которые неотрицательны, так как корреляционная матрица всегда неотрицательно определена). Нам нужен наименьший из этих корней. Действительно, если мы умножим 1-е уравнение в (29.75) на и сложим последние уравнений, то найдем, что сумма в левой части будет равна Следовательно, сумма

должна быть минимальной.

29.26 Метод, предложенный в 29.22 для случая двух переменных, можно обобщить с целью получения поверхностей второго порядка, ограничивающих доверительные области для

в -мерном пространстве. Аналогичным образом может быть найдена также поверхность второго порядка, «внутри» которой лежит гиперплоскость (29.70), представляющая функциональное соотношение. Конечно, такие области трудно представить наглядно и невозможно изобразить при Этот вопрос подробно рассмотрен Брауном и Фередеем (1958). (Некоторые из их результатов приведены в упражнениях 29.6-29.8.) Замечания, сделанные в 29.23, остаются справедливыми и в этом случае.

Виллегас (1961) рассматривает случай, когда дисперсии ошибок неизвестны и оцениваются из повторных наблюдений (см. 29.12) методом МП, и использует полученные результаты для нахождения доверительной области для линейного соотношения (1964). Его исследование охватывает также случай коррелированных ошибок.

Спрент (1966) дает общий метод оценивания коэффициентов, когда ошибки коррелироваиы.

29.27 До сих пор мы в основном имели дело с ситуациями, когда идентифицируемость обеспечивалась либо предположениями, касающимися дисперсий ошибок, либо повторными наблюдениями. Возникает вопрос, существует ли какой-нибудь другой путь, позволяющий добиться успеха в задаче оценивания линейной функциональной или структурной зависимости. Чтобы ответить на него, мы рассмотрим другие подходы к этой проблеме.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление