Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Интервальное оценивание и критерии

29.20 До сих пор рассматривались только точечные оценки параметров. Теперь мы займемся интервальными оценками и в первую очередь найдем доверительные интервалы (и соответствующие критерии) только для одного Эта задача была

решена Кризи (1956) для случая, когда известно отношение дисперсий ошибок Деля на мы приходим к случаю так что без потери общности можно считать дисперсии ошибок равными. В этом случае функция правдоподобия имеет вид

независимо от того, имеем мы дело со структурной или с функциональной зависимостью. Максимизация (29.58) равносильна минимизации выражения в круглых скобках, которое может быть записано как По теореме Пифагора видим, что при оценивании по методу МП минимизируется сумма квадратов длин перпендикуляров, опущенных из наблюденных точек на оцененную прямую. Это ясно и интуитивно, если учесть равенство дисперсий ошибок. Пользуясь обозначениями

получаем из (29.29), учитывая инвариантность МП-оценок относительно преобразований, что МП-оценка для равна

Благодаря использованию модуля в знаменателе правой части (29.60) знак совпадает со знаком и знаком

В силу некоррелнрованы тогда и только тогда, когда а поскольку нормально распределены, то их выборочный коэффициент корреляции

в этом случае имеет распределение (16.62) или, что эквивалентно в силу (16.63), статистика

имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Поскольку

то статистику (29.61) можно записать, учитывая (29.60), в виде

Эта статистика может быть использована для проверки гипотезы

29.21 Если мы хотим проверить гипотезу о том, что имеет некоторое ненулевое значение, то возникает трудность, состоящая в том, что коэффициент корреляции между равный согласно

зависит от неизвестной дисперсии (под которой, как и до этого, в случае функциональной зависимости будет пониматься Чтобы избавиться от этой трудности, заметим, что при известном (и, следовательно, известном 0) можно перейти от наблюденных значений к новым с помощью преобразования

заключающегося в повороте осей координат на угол Таким образом, вместо проверки гипотезы о том, что приняло некоторое значение, будет проверяться гипотеза для преобразованных переменных. Поскольку дисперсии и ковариации инвариантны относительно ортогонального преобразования, то (29.62) будет по-прежнему нашей статистикой критерия, надо только заменить на

Остается еще та трудность, что каждому значению в (29.62), измененному таким образом, соответствуют вследствие периодичности синуса четыре значения 0. Если можно предположить, что вероятность неравенства пренебрежимо мала, то указанная трудность исчезает, и мы можем использовать (29.62) (с заменой на как для проверки гипотезы о величине так и для нахождения доверительных границ для следовательно, для Доверительные границы для 8 имеют вид

где значение -статистики Стьюдента, соответствующее степеням свободы и выбранному коэффициенту доверия. Поскольку было использовано условие то данный метод годится только для больших выборок.

Пример 29.2

Для данных примера 29.1 имеем

Таблица распределения Стьюдента при числе степеней свободы 7 и коэффициенте доверия 0,95 дает Следовательно, (29.63) с учетом результатов вычислений для принимает вид

Таким образом, -процентные доверительные границы для равны Доверительные границы для равны просто тангенсам этих углов 1,58 и 2,53. Вследствие использования преобразования от к при нахождении этих границ МП-оценка 1,99 не находится точно в середине между этими границами. Поскольку число степеней свободы было небольшим, полученные пределы оказались довольно широкими.

29.22 Тем же способом, каким мы нашли доверительные границы для в 29.21, мы можем найти доверительную область для всей прямой, если известны обе дисперсии ошибок Браун (1957)). Действительно, несмотря на доказанную в (29.9) коррелированность с можно записать (29.8) в виде

Правая часть (29.64) распределена нормально со средним нуль и дисперсией а левая часть (29.64) содержит только наблюдаемые величины и параметры Отсюда следует, что величина

имеет распределение степенями свободы. Если известны, то мы без потери общности можем считать их равными единице, поскольку для этого достаточно разделить на и на Тогда (29.65) примет вид

Можно использовать (29.66) для нахождения доверительной области для прямой. Для этого из таблиц определим такое, что

Тогда вероятность выполнения неравенства

будет равна у. Принимая, как и раньше, за начало отсчета наблюденные средние можно переписать (29.67) в виде

или

Соотношение (29.68) определяет область на плоскости ограниченную кривой второго порядка. Эта область будет -процентной доверительной областью для Если увеличить (т. е. увеличить то вновь полученная область будет содержать прежнюю.

Доверительная область будет ограниченной, если кривая второго порядка есть эллипс, и неограниченной, если она является гиперболой. При этом может оказаться, что вообще не существует действительных удовлетворяющих (29.68). Эта трудность уже обсуждалась в другом контексте в примере 20.5.

Мы можем теперь точно так же, как это делалось в 28.26, считать (29.68) ограничением, которому должна удовлетворять истинная прямая, и найти затем путем дифференцирования огибающую семейства всех возможных прямых, которая будет снова кривой второго порядка. В результате, как показал Браун (1957), получится область на плоскости ограниченная кривой

где а, определяется формулой (29.29) и

а, предполагается положительным, так что дает требуемую доверительную область, которая будет гиперболой, если и эллипсом, еслиу Если то мы не получим действительной кривой второго порядка.

29.23 В (29.69) использована оценка (29.29), которая может не быть МП-оценкой, если обе дисперсии ошибок известны, как это предполагалось в 29.22 (см. случай 4 в 29.12).

Следует также обратить внимание на трудность другого рода. Нахождение доверительных границ для среднего значения нормального распределения с известной дисперсией с помощью распределения не является эффективной процедурой. Это было отмечено в примере 20.5, а также в примере 25.3, где было показано, что АОЭ соответствующего критерия равна нулю. Поэтому не следует ожидать, что доверительная область (29.69), которая существенно основана на этой неэффективной процедуре, будет эффективной. Здесь она приведена лишь из-за отсутствия лучшей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление