Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Оценивание параметров функционального соотношения по методу МП

29.14 Предположим, что (29.4), (29.5) и (29.6) выполнены и что независимые нормально распределенные случайные величины. Поскольку математическая, а не случайная величина, то и имеется параметров, а именно значений Функция правдоподобия в данном случае имеет вид

Дифференцируя по каждому из и по остальным четырем параметрам, находим

Суммируя (29.37) по и используя (29.38), получаем

Таким образом, если измерять относительно их наблюденных средних, то мы получим МП-оценку для суммы

Из (29.38), учитывая (29.42), находим если измеряются относительно их наблюденных средних,

Пользуясь (29.43), из (29.39) находим

Уравнение (29.40) дает

а (29.43) и (29.41) дают

Возводя (29.37) в квадрат и учитывая (29.43), получаем

Суммируя затем (29.47) по и используя отношение (29.45) и (29.46), мы приходим к заключению, что

Подставляя (29.48) снова в (29.37) и исключая получаем

так что МП-оценка для удовлетворяет уравнению

Чтобы получить МП-оценки для надо решить уравнений (29.45), (29.46) и (29.49) относительно неизвестных Затем мы находим из (29.48),

Однако, как следует из соотношения (29.48), впервые полученного Линдли (1947), метод МП не годится для оценивания в рассматриваемом случае. Хотя мы априори ничего не знаем о значениях параметров устанавливает определенное соотношение между их МП-оценками, которому сами параметры в рассматриваемой модели не обязаны удовлетворять. Фактически из (29.48) следует, что мы не можем оценить состоятельно все три параметра Таким образом, в данной ситуации метод МП неприемлем.

29.15 Как показали Нейман и Скотт (1948), в общем случае МП-оценки для структурных параметров не обязательно состоятельны, если в задаче имеются несущественные параметры. Позднее Кифером и Волфовицем (1956) было доказано, что если несущественные параметры являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами, а структурные параметры идентифицируемы, то в условиях регулярности МП-оценки структурных параметров состоятельны. Очевидно, выделенное курсивом условие возвращает нас от функциональной модели к структурной, которая рассматривалась в 29.9-12 и для которой при различных предположениях были получены МП-оценки для Еще раньше Нейман (1951) доказал существование состоятельных оценок для в модели структурной зависимости.

29.16 Из 29.14 следует, что без дополнительных предположений нельзя получить приемлемой МП-оценки для в случае функциональной зависимости. В действительности так же обстояло дело и в случае структурной зависимости, который в свете наших результатов и результатов, упомянутых в 29.15, представляется существенно более простым. Эта необходимость в дополнительных предположениях часто удивляет исследователей, применяющих статистические методы. Обычно они переоценивают возможности получения с помощью статистических методов простых и приемлемых решений для любой просто формулируемой задачи. В связи с этим полезно прибегнуть к геометрической иллюстрации.

Рассмотрим точки расположенные так, как изображено на рис. 29.1.

Любой наблюденной точке соответствует «истинная» точка положение которой неизвестно. Поскольку в нашей модели независимы и нормально распределены, то положение точки равновероятно на любом эллипсе с центром в и осями, параллельными осям координат. И наоборот, если плотность распределения ( симметрична по то существует эллиптическая доверительная область для с центром в при любом заданном коэффициенте доверия. Эти области

изображены на рис. 29.1. Эвристически задачу оценивания можно понимать как задачу нахождения прямой, пересекающей возможно большее число таких доверительных областей. Трудность теперь ясна: неизвестны длины осей эллипсов — они зависят от параметров масштаба ста, Понятно, что для того, чтобы сделать задачу определенной, достаточно знать эксцентриситет эллипсов, т. е. отношение Напомним, что в случае структурной зависимости, рассмотренном в 29.9-10, знания этого отношения оказалось достаточно для решения задачи оценивания.

Рис. 29.1. Доверительные области для (см. текст).

29.17 Пусть, следовательно, отношение известно. Заменяя на в методе МП в 29.14, мы видим, что несостоятельность, возникшая вследствие (29.48), исчезает, так как теперь требуется оценить только одну дисперсию ошибки, скажем Уравнения (29.40) и (29.41), которые приводили к (29.48), заменяются одним уравнением

из которого, учитывая остающиеся в силе соотношения (29.43) и (29.44), получаем

Вместо (29.49) непосредственно из (29.37) находим

или

Подставляя (29.51) в (29.44), получаем

или, после упрощений,

(29.52) отличается от (29.27) только незначительными изменениями обозначений. Таким образом, результат случая 3 из 29.12 сохраняется: если отношение дисперсий ошибок к известно, то (29.29) дает МП-оценку для как в случае простейшего структурного соотношения, так и в случае линейного функционального соотношения.

29.18 Как было замечено в 29.10 (эти рассуждения применимы и в данном случае, поскольку мы оцениваем так же, как в случае 2 в 29.12), оцененные прямые регрессии «ограничивают» оцененную структурную прямую. Это следует также из монотонной зависимости от оценки даваемой формулой (29.29) (в упражнении 29.1 читателю предлагается доказать этот факт). Таким образом, оцененные прямые регрессии дают математические границы для оцененной функциональной прямой. Однако эти границы могут быть слишком далеки друг от друга, чтобы иметь какое-нибудь практическое значение. В любом случае они, конечно, не являются ни в каком смысле вероятностными границами.

29.19 Знание отношения дисперсий ошибок позволило нам в 29.17 получить МП-оценки (29.29) и (29.50) для Однако еще не все трудности преодолены. Дело в том, что если является состоятельной оценкой для то как показал Линдли (1947), не будет таковой для

Чтобы доказать состоятельность заметим, что в соответствии с общими результатами главы 10 выборочные дисперсии и ковариация в (29.29) сходятся по вероятности к своим математическим ожиданиям. Таким образом, обозначая дисперсию ненаблюдаемой величины мы получаем (ср. (29.18) для случая структурной зависимости)

Подставляя (29.53) в получаем соотношение

устанавливающее состоятельность Приведенное доказательство проходит также в случае структурной зависимости, если всюду заменить на

Несостоятельность в случае функциональной зависимости доказывается так же просто. Подставляя (29.51) в (29.50), мы приходим к следующим выражениям для

Из (29.55), учитывая (29.53) и (29.54), получаем

Доказанная несостоятельность МП-оценки напоминает несостоятельность, отмеченную в примере 18.16, которая была вызвана тем, что объем выборки был равен двум, а смещение МП-оценки имело порядок Здесь, по существу, также оценивается по парам что легко видеть из (29.55). Следовательно, несостоятельность МП-оценки в данном случае вызвана влиянием смещенности МП-оценки при малом объеме выборки. Отмеченная несостоятельность, однако, не доставляет неприятностей: чтобы получить состоятельную оценку для надо заменить число наблюдений числом степеней свободы в знаменателе Состоятельная оценка, следовательно, равна

Мы, таким образом, видим, что в случае функциональной зависимости для состоятельности МП-оценок всех структурных параметров недостаточно даже знания Что касается структурных зависимостей, то в некоторых случаях состоятельность МП-оценок для структурных параметров гарантируется сформулированной в теоремой Кйфера Волфовица,

Пример 29.1

Р. Браун (1957) приводит девять пар наблюдений

порожденных линейной функциональной зависимостью с дисперсиями ошибок Таким образом, мы имеем Далее, вычисляем

и (с точностью до трех значащих цифр)

Используя затем (29.29), получаем

Если принять за начало отсчета наблюденные средние, то в соответствии с (29.43) будем иметь и оцениваемая прямая примет вид

Состоятельная оценка согласно 29.19 равна где определяется формулой (29.56). Мы, следовательно, получаем

В действительности данные были порождены линейной функциональной зависимостью со случайными нормальными ошибками имеющими общую дисперсию так что найденные оценки, особенно а, оказались довольно хорошими даже при таком небольшом числе наблюдений, как 9.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление