Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Оценивание структурных соотношений по методу МП

29.9 Если сделать дополнительное предположение, что все пары наблюдений имеют одно и то же совместное нормальное распределение, то мы сможем использовать метод МП для оценивания параметров модели структурной зависимости, определяемой соотношениями (29.6) и (29.11) — (29.13). (Для совместной нормальности достаточно, чтобы все имели одно и то же нормальное распределение, и то же самое было бы верно для и а в случае, когда х, у вырождаются в константы для совместной нормальности достаточно двумерной нормальности Тогда в силу (29.6) и (29.11) — (29.13) мы получим следующие выражения для моментов:

Следует, в частности, заметить, что в (29.18) структурные пере менные (а также имеют одинаковые средние. Как будет видно, это имеет важное значение при использовании метода МП. Однако это означает, что результаты, которые мы собираемся получить для структурных соотношений, не будут иметь почти никакой ценности в случае функциональных соотношений, поскольку они применимы, только когда (константы, в которые вырождаются при принимают одно и то же значение для всех См. 29.13 ниже.

29.10 Как следует из (16.47) и из примеров 18.14, 18.15, выборочные средние, дисперсии и ковариация совместно достаточны для пяти параметров двумерного нормального распределения, являясь для них МП-оценками. Поэтому, если выборочные дисперсии и -выборочная ковариация, то решения системы уравнений

относительно тех из шести параметров которые неизвестны, будут МП-оценками для этих параметров при условии, что они дают допустимые значения. Поскольку априори никак не ограничены, то требуется только, чтобы решения для были неотрицательны. Согласно (29.19) (в) - (д) это приводит к следующим ограничениям: для

если то если то не определено.

Если ограничения (29.20) не выполнены, то решения (29.19) не будут МП-оценками для нашей задачи. В этом случае МП-оценки находятся путем прямой максимизации ФП. Как показывает (29.18), при этом (29.20) (vi) остается в силе.

Из (29.19) (в) - (д) получаем

откуда, делая равными коэффициенты при находим

Если то из (29.21) следует неравенство

показывающее, что абсолютная величина МП-оценки наклона структурной прямой заключена между коэффициентом регрессии по 1, полученным по методу НК, и значением, обратным коэффициенту регрессии 1 по Согласно (29.19) (а) - (б) соответствующая структурная прямая лежит между двумя линиями регрессиями, что кажется естественным с интуитивной точки зрения.

29.11 Независимо от того, производится оценивание по методу МП с помощью (29.19) или путем прямой максимизации ФП, уравнения (29.19) (а) -(б) всегдадают МП-оценки если оценка с уже найдена. При использовании (29.19) уравнения должны быть разрешены относительно однако этого нельзя сделать без дополнительных предположений, так как рассматриваемые три уравнения содержат четыре неизвестных.

Причину этой трудности легко обнаружить. Возвращаясь (29.18), мы видим, что изменение истинного значения может не менять значения пяти приведенных там моментов. Пусть, например, положительны. Тогда любое увеличение может быть компенсировано (а) уменьшением уменьшением и (в) соответствующим изменением в . (Читатель, возможно, захочет проверить это на численном примере.) Это означает, что параметр невозможно оненить по самой природе задачи, как бы ни был велик объем выборки. По этой причине он называется неидентифицируемым. В действительности из шести параметров идентифицируемым является только Нам нежелательно предполагать известными поскольку их оценивание является нашей главной целью, или поскольку ненаблюдаемая величина. Параметр идентифицируем, и здесь положение нельзя улучшить. Очевидно, мы должны сделать предположения относительно дисперсий ошибок.

29.12 Случай 1: известна.

Если то из (29.21) сразу получаем

откуда следует, что выполняются. Однако для того, чтобы были выполнены все ограничения в (29.20) и оценка (29.24) была МП-оценкой, необходимо добавить ограничение в форме Если эти ограничения не выполнены, то (29.19) не дает МП-оценки, которая в этом случае равна (см. упражнение 29.18)

Заметим, что если то в (29.24) стремится к своей нижней границе в (29.23), тогда как (29.25) дает верхнюю границу.

Случай 2: известна.

Из получаем

Далее, как и в случае 1, если выполнены условия то выполнены все ограничения в (29.20) и (29.26) будет МП-оценкой. Если же эти условия не будут выполнены, то мы получим следующую МП-оценку, аналогичную (29.25):

Последнее утверждение предыдущего случая (с очевидными изменениями) справедливо и здесь. Случай известно.

Это классический метод решения задачи идентифицируемости. Полагая и исключая из уравнений (29.21), получаем

Если (в случае мы получаем если если же то параметр а, не определен и см. то это квадратное уравнение будет иметь ненулевые, корни

Поэтому в силу так что для выполнения неравенства должно быть неотрицательным и, следовательно, надо взять корень со знаком плюс в числителе. Таким образом,

Остается только проверить, выполняются ли или поскольку теперь Для выполнения требуется, чтобы неравенство можно получить, заменяя величину ее верхней границей Таким образом, (29.29) дает МП-оценку. Случай 4: известны.

В этом случае в остается только два неизвестных и мы можем получить обе оценки (29.24) и (29.26), которые, однако, несовместимы. Следовательно, с помощью (29.19) нельзя найти МП-оценку, и надо, следуя Бёрчу (1964а), максимизировать непосредственно ФП.

Используя последние три равенства (29.18), получаем

где

Для простоты исключим с помощью нормировки известные константы и из (29.30), измеряя в единицах в единицах Тогда (29.30) примет вид

где Функция дифференцируема и стремится к когда так что она принимает максимальное значение в стационарной точке, получаемой приравниванием к нулю производных и Мы, следовательно, получаем

Исключая из этих уравнений находим

Таким образом, либо (и, следовательно, либо равно нулю выражение в фигурных скобках. В последнем случае мы вновь возвращаемся к (29.27) (вспомним, что вследствие нормировки Отказываясь от нормировки, мы приходим к выводу, что (29.29) дает решение для Из (29.31) получаем

откуда, учитывая равенство находим

Значение, принимаемое функцией в стационарной точке и даваемое формулами (29.29) и (29.32), будет максимальным только в случае, если таковым не является значение в точке Из рассмотрения второй производной следует, что для этого требуется выполнение по крайней мере одного из условий или Снова отказываясь от нормировки, мы приходим к заключению, что (29.29) и (29.32) дают МП-оценки для когда выполнено по крайней мере одно из условий или Если жени одно из нихне полнено (что практически маловероятно), то максимум будет

находиться в точке и тогда а параметр не определен (см. условие (29.20) (vi) и следующее за ним обсуждение)

Проблема идентифицируемости, поставленная в 29.11, не возникает, если имеются повторные наблюдения, т. е. если имеется наблюдений соответствующих истинному значению наблюдений соответствующих причем по крайней мере одно и одно больше единицы. Введем обозначения

Легко показать, что

и

являются несмещенными оценками дисперсий ошибок и что состоятельная (хотя и смещенная) оценка их отношения. Теперь любая оценка для (случаи 1—4), если подставить в нее соответствующую оценку из числа приведенных выше, будет состоятельной. Мадански (1959) рассмотрел различные оценки, полученные подобными методами, которые, по существу, представляют простое приложение идей дисперсионного анализа (том 3). Дорфф и Гёрлэнд (1961а) показали, что наименьшая асимптотическая дисперсия при постоянном значении отношения соответствует оценке, полученной при использовании Я. в (29.29).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление