Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Структурные соотношения между случайными величинами

29.6 Предположим, что сами являются случайными величинами (которые в соответствии с принятыми соглашениями будут обозначаться и что, как и прежде; выполнены (29.4), (29.5) и (29.6). Отсюда можно снова вывести (29.8),

однако (29.9) уже не будет выполнено, если не сделать дополнительных предположений, поскольку в (29.9) величина X рассматривалась как константа. В действительности мы получим

Сделав, однако, дополнительные предположения (два относительно х и два относительно

мы сведем (29.10) к (29.9).

Таким образом, рассматриваемая модель записывается виде

причем выполнены также (29.6) и (29.11), так что, как и раньше, справедливо (29.8). В итоге мы заменили функциональное соотношение (29.4) между математическими переменными структурным соотношением (29.13), выражающим точную линейную связь между двумя ненаблюдаемыми случайными величинами Предыдущая модель получается из этой как частный случай, когда вырождаются в константы Как и прежде, соотношение (29.8) между наблюдаемыми переменными является структурным, но, кроме этого, мы имеем структурное соотношение, так сказать, внутри самой модели.

Модели, описываемые структурными соотношениями, в основном находят применение в социальных науках, особенно эконометрике. Мы еще возвратимся к этой теме при изложении многомерного анализа в третьем томе. Упомянем только в целях иллюстрации такой пример. Пусть выполнена гипотеза (29.13) о линейной зависимости между количеством проданного товара и его ценой причем х и у считаются случайными величинами. Пусть, кроме того, эти величины наблюдаются с ошибками, т. е. выполняется (29.12). Тогда мы находимся в ситуации, описываемой структурным соотношением. Существенно, однако, что кроме ошибок, возникающих при наблюдении х и у, имеют место случайные изменения этих переменных, обусловленные самой их природой.

29.7 Исследователей часто ставила в тупик следующая ситуация. Рассматривая линейную зависимость между переменными, они не могли допустить существования двух прямых линий регрессии, но в то же время на ранней стадии развитие

предмета возможно, иногда и сейчас) им всегда приходилось иметь дело с парой прямых. Однако из наших рассуждений ясно, что линия регрессии и не предназначена для выражения функциональной зависимости между математическими переменными или структурной зависимости между случайными переменными: она либо выражает свойство двумерного распределения, либо, когда независимая переменная не подвержена ошибке, выражает связь между независимой переменной и средним значением зависимой переменной. Методы этой главы, которые, как можно видеть из приводимых ссылок, были главным образом развиты в течение последних двух десятилетий, дают в распоряжение исследователей математические модели, более пригодные для их нужд.

29.8 Интересно выяснить, почему для оценивания в (29.8) нельзя использовать основанный на методе наименьших квадратов регрессионный анализ. Имея пар наблюденных значений можно получить, усредняя (29.8) по этим значениям, соотношение

Поскольку последнее слагаемое в правой части имеет нулевое математическое ожидание, то мы получаем для оценивания уравнение

которое является несмещенным в том смысле, что обе его части: имеют одинаковое математическое ожидание. Если за начала; отсчетов приняты выборочные средние то для получается оценка

Аналогично, умножая (29.8) на находим после усреднения

где оценка для Второе слагаемое в правой части не обращается в нуль даже при а стремится к величине кратной в силу (29.9). Таким образом, чтобы оценить мы должны по крайней мере при использовании этого метода знать Далее мы увидим, что дисперсии ошибок действительно играют существенную роль в оценивании

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление