Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Таблицы ортогональных полиномов

28.19. Biometrika Tables содержит для всех также значения

В Таблицах Фишера и Иэйтса приведены них для всех

В Biometrika Tables можно найти ссылки на более обширные таблицы, доходящие до Рейден) и до (Андерсон и Хаусмэн).

28-20 Об ортогональных полиномах существует обширная литература. За теоретическими деталями читатель может обратиться к работе Фишера ( который первым применил их к полиномиальной регрессии, к работе Аллана (1930), а также к трем работам Эйткина (1933). Назовем несколько более современных источников. У Раштона (1951) обсуждается случай неодинаково отстоящих значений х, Кокс (1958) приводит краткий вывод общих ортогональных полиномов с использованием определителей. Задачи с группированными данными рассматривались Гестом (1954, 1956).

Приведем теперь один пример подгонки ортогональных полиномов в равноотстоящем случае.

Пример 28.3

Первые два столбца таблицы 28.1 показывают численность населения Англии и Уэлса по десятилетним переписям с 1811 по


Таблица 28.1 (см. скан)

1931 г. Ясно, что эти наблюдения коррелированы, и поэтому регрессионная модель (28.64) не является строго соответствующей. Но с чисто иллюстративными целями мы проведем процесс подгонки. Здесь Используя таблицу 47 Biometrika Tables, находим значения, стоящие в последних четырех столбцах таблицы 28.1. Имеем

Следовательно, из (28.70) получаем

Тогда согласно (28.68) и (28.82) ортогональная полиномиальная регрессия четвертой степени у по х имеет вид

Если бы мы, собирая подобные члены, привели правую часть к виду

то коэффициенты были бы в точности те же, как если бы мы использовали (28.64) вместо ортогональной формы (28.68). Преимущество последней, кроме ее вычислительной простоты, состоит в том, что можно легко изучать улучшение в «подгонке» уравнения регрессии с ростом его степени. Для этой цели требуется лишь вычислить

и найденные ранее величины подставить в (28.72). Таким образом, имеем:

Очевидно, что линии третьего и четвертого порядка «подогнаны» хорошо. Они изображены на рис. 28.1.

Рис. 28.1. Полиномы третьей (сплошная линия) и четвертой (пунктирная лииия) степеней, подогнанные по данным таблицы 28.1.

Нет нужды предостерегать читателя против опасности экстраполяции на основе подогнанной регрессии, даже близкой, если она не имеет теоретической основы. В данном случае, например, можно наглядно убедиться в том, что значение, «предсказанное» регрессией четвертой степени для 1951 г. значительно меньше того, что в действительности, дала перепись населения в этом году (43,7 миллиона).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление