Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Характеризация двумерного нормального распределения

28.8 Теперь мы можем доказать замечательный результат: если регрессии у по по у линейны с однородными ошибками, то х и у имеют двумерное нормальное распределение, за исключением случаев, когда (а) они независимы одна от другой или (б) они связаны функциональной зависимостью.

Предположим, что выполнены условия теоремы. Логарифмируя (28.39), получаем

Аналогично, из регрессии величины х по у

где штрихи использованы для отличения коэффициентов и распределений от таковых в (28.41). Приравняем (28.41) и (28.42) и рассмотрим последовательные степени обозначая семиинварианты распределений через соответственно. Первая степень:

Приравнивая коэффициенты при и при получаем

Мы всегда можем предполагать, что ошибки имеют нулевые средние, ибо в противном случае их средние можно было бы включить в Если, кроме того, измерять х и у от их средних, то из (28.43) и (28.44) находим

что очевидно из общих соображений. Вторая степень:

Отсюда, приравнивая коэффициенты при получаем

Равенства (28.46) — (28.48) дают связь между В частности, из (28.47) вытекает, что отношение равно отношению исходных дисперсий. Третья степень

Коэффициенты при дают нам

Исключая временно возможности или получаем из соотношений (28.49) и (28.50) равенства Аналогично, если рассмотрим четвертые и более высокие степени, то обнаружим, что семиинварианты всех высших порядков Иго, должны равняться нулю. Тогда из уравнений такого типа, как получаются при сравнении членов с й, й, а именно

следует, что для распределений семиинварианты порядка выше второго также обращаются в нуль. Таким образом, все распределения являются нормальными, а из (28.41) или (28.42) вытекает, что является квадратичной формой по следовательно, величины х, у имеют двумерное нормальное распределение.

В тех исключительных случаях, которыми мы пренебрегли, наше рассуждение теряет силу. Если то согласно

(28.35) корреляция между х и у равна ±1, и х является строго линейной функцией от у (см. 26.9). С другой стороны, когда или величины х, у независимы, как замечено в конце 28.7. Это заканчивает доказательство теоремы

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление