Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Критерии линейности регрессии

28.5 Пусть совместная п. ф. с. величин Сейчас мы докажем следующий факт: если регрес сия величины у по х линейна, так что

то

и наоборот, если выполнено некоторое условие полноты, то (28.25) не только необходимо, но и достаточно для (28.24). Используя (28.24), из (28.9) при находим

Полагая в и деля обе части на получаем (28.25).

Обратно, если имеет место соотношение (28.25), то, используя (28.9), перепишем его в виде

Теперь видим, что соотношение (28.28) влечет тождественно по х

если только семейство полно. Следовательно, мы получили (28.24).

28.6 Если все семиинварианты существуют, то, используя (28.12), находим из (28.25)

Приравнивая в (28.30) коэффициенты при имеем

(что очевидно из

Условие линейности регрессии (28.32) также принадлежит Уикселлу (1934). Соотношения (2831) и (28.32), вместе взятые, необходимы и достаточны для (28.25), а отсюда (как и прежде, при условии полноты и для условия линейности (28.24). Если, как в (28.27), мы выразим (28.25) через а не через ее логарифм и проведем выкладки, ведущие к (28.32), то получим аналог соотношения (28.32) для центральных моментов

Если регрессия величины х по у тоже линейна, т. е. то найдем также

При соотношения (28.32) и откуда

где коэффициент корреляции между х и у, что вновь совпадает с (26.17).

28.7 Наложим теперь дальнейшие ограничения на наши переменные. Предположим, что условное распределение величины у относительно своего среднего (которое, как и прежде, является функцией от фиксируемого значения одно и то же для любого х, т. е. только среднее значение величины у изменяется с изменением х. Мы будем в этом случае говорить, что у «имеет однородные ошибки». Таким образом, существует случайная величина такая, что

В частности, когда регрессия линейна, (28.36) представляется в форме

Если у имеет однородные ошибки, то соотношение (28.5) переходит в

где есть теперь условное распределение величины Обратно, (28.38) влечет однородные ошибки для у.

Не столь очевиден соответствующий результат для характеристических функций: если регрессия у по х линейна с одно»

родными ошибками, то совместная х. ф. величин х и у факторизуется в виде

где индексы указывают на соответствующие Для доказательства (28.39) заметим, что

и (28.39) есть просто по-иному переписанное выражение (28.40). Отметим, что если то согласно (28.39) х и у независимы: линейность регрессии, однородные ошибки и нулевой коэффициент регрессии влекут независимость, как это интуитивно очевидно.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление