Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Максимальное правдоподобие и достаточность

18.4 Легко видеть, что в случае, когда для существует одномерная достаточная статистика, МП-оценка должна быть функцией от этой статистики. Действительно, если А достаточна для 0, то ФП разлагается в произведение двух сомножителей (см. (17.84)):

Поскольку второй сомножитель в правой части (18.7) не зависит от , то выбор , максимизирующего эквивалентен выбору , максимизирующего т. е. есть функция только от

18.5 Если для существует МГД-оценка а уравнение правдоподобия (18.5) имеет решение решение единственно и обращает в максимум ФП. Действительно, в 17.33 было показано, что в случае существования одномерной достаточной статистики ФП такова, что некоторая функция от может иметь МГД-оценку. Таким образом, как и в (17.27), можно написать

откуда следует, что решения (18.5) имеют вид

Дифференцируя (18.8) еще раз, получим

Но так как согласно (17.29)

то последний член в (18.10) может быть представлен в виде

Кроме того, при первый член, в правой части (18.10) в силу (18.9) равен нулю. Следовательно, используя (18.11), мы получаем из (18.10)

Из (18.12) следует, что каждое решение (18.5) является максимумом ФП. Но в регулярном случае между последовательными максимумами должен находиться минимум. Поскольку же не имеется ни одного минимума, то не может быть больше одного максимума. Это, с другой стороны, следует также из един-ственности МГД-оценки.

(18.9) показывает, что если (несмещенная) МГД-оценка существует, то она дается методом МП.

18.6 Утверждение о единственности МП-оценки при наличии одномерной достаточной статистики распространяется на случай, когда область определения зависит от 0. Однако доказательство несколько меняется. В 17.40-1 было показано, что необходимым условием существования достаточной статистики является возможность разложения

В этом случае ФП имеет вид

и принимает наибольшее значение, когда принимает наименьшее. Из (18.13) получаем

где интегрирование производится по всей области изменения k. Следовательно,

откуда вытекает, что минимизация эквивалентна минимизации интеграла в правой части (18.15) (один или оба предела интегрирования которого зависят от 0).

Вспомним теперь что одномерная достаточная статистика для существует, когда либо только один предел зависит от 0, либо верхний предел является монотонно убывающей функцией нижнего. В обоих случаях значение (18.16) будет монотонной функцией от области интегрирования, достигающей единственного краевого минимума для наименьшей возможной при данных наблюдениях области. МП-оценка 0, полученная в результате минимизации области интегрирования в (18.15), единственна, и краевой максимум равен

Результаты этого и предыдущего пунктов были впервые получены Хузурбазаром (1948) (который, однако, в «регулярном» случае 18.5 применил другой метод).

18.7 Таким образом, мы показали, что если для параметра существует одномерная достаточная статистика, то МП-оценка для есть функция только от Далее, в этом случае единственна и ФП имеет только один максимум. Этот максимум будет стационарным значением (при выполнении условий регулярности) либо краевым максимумом, если, соответственно, область определения не зависит от или зависит.

18.8 Из наших результатов следует, что МП-оценки, являющиеся взаимно однозначными функциями достаточных статистик, обладают всеми оптимальными свойствами последних. Например, нам достаточно получить решение уравнения правдоподобия и найти функцию от этого решения, которая была бы несмещенной оценкой для параметра. Согласно 17.35 эта функция и будет единственной МД-оценкой, для которой достигается (если это возможно) МГД (17.22).

Достаточные статистики, полученные в примерах 17.8-17.10, 17.16, 17.18 и 17.19, легко находятся с помощью метода МП.

Пример 18.1

Оценим параметр в распределении Из вида ФП, приведенной в примере следует, что является достаточной статистикой и ФП имеет в этой точке недифференцнруемый мдксимум.

Очевидно, не является несмещенной оценкой для . Легко видеть, что несмещенной будет оценка

Пример 18.2

Оценим среднее нормального распределения с известной дисперсией. В примере 17.6 мы получили

Приравнивая это выражение нулю, находим

В этом случае есть несмещенная оценка для 0.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление