Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Моменты и предельные распределения величины R^2

27.32 Можно показать (см. Уишарт (1931)), что среднее значение величины в многомерном нормальном случае равно

В частности, когда сводится к

что также можно получить непосредственно из (27.74). Аналогично может быть показано, что дисперсия равна

Соотношение (27.86) представимо в виде

так что если

Но если то равенство (27.87) оказывается бесполезным. Возвращаясь же к (27.86), находим

Точный результат в (27.89) можно было получить из Различные порядки величины асимптотических дисперсий (27.88) и (27.89), когда отражают существенно разное поведение распределения коэффициента в этих двух ситуациях. Хотя (27.84) показывает, что является смещенной оценкой для тем не менее она, очевидно, состоятельна. Для больших При распределение величины асимптотически нормально со средним и дисперсией (27.88) (см. упражнение 27.15). Однако, когда коэффициент который заключен в интервале сходится к 0, нижней границе своего интервала изменения, и одного этого достаточно, чтобы показать, что в данном случае его распределение не будет нормальным (см. упражнения 27.14, 27.15). При таких обстоятельствах неудивительно, что его дисперсия имеет порядок аналогичная ситуация возникала при оценивании границы конечного промежутка, на котором сосредоточено распределение, где, как мы видели а упражнениях 14.8, 14.13, 14.16, появляются дисперсии порядка

Распределение коэффициента ведет себя аналогично (в отношении предельной нормальности) распределению хотя мы увидим, что его дисперсия имеет всегда порядок

Следует упомянуть одно прямое следствие особенности в распределении коэффициента при Из (27.88) следует, что

это совпадает с асимптотическим выражением для дисперсии обычного коэффициента корреляции (см. (26.24))

Естественно применить к стабилизирующее дисперсию -преобразование из 16.33 (см. также упражнение 16.18), дающее величину дисперсия которой близка к независимо от значения Но, как отметил Хотеллинг (1953), это неверно вблизи поскольку там нарушается (27.90). В этом случае асимптотическая дисперсия в силу соотношения (27.84) равна

что отличается от значения получаемого из (27.90). Все хорошо при (когда ). В остальных случаях -преобразование величины можно использовать только для значений отделенных от нуля.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление