Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Многомерный нормальный (безусловный) случай

27.29 Пусть теперь значения также изменяются, и предположим, что выборка производится из многомерной нормальной совокупности. Оказывается, что распределение вели чины остается прежним при но при

совершенно отличается от распределения с фиксированными Таким образом, функции мощности критерия для различны в этих двух случаях, хотя один и тот же критерий имеет силу в каждом случае. Однако, когда оба результата совпадают.

Мы выведем геометрически результат для многомерного нормального случая с в 27.30 обобщим его.

Рассмотрим геометрическое представление из 27.26. Тогда есть косинус угла, скажем , между (вектор наблюдений и вектором лежащим в -мерном пространстве остальных переменных и минимизирующим угол с Если теоретический коэффициент то вследствие многомерной нормальности совокупности не зависит от а тогда вектор из-за радиальной симметрии нормального распределения, будет иметь случайное направление относительно подпространства которое в последующих рассуждениях можно считать фиксированным. (Этим объясняется, почему совпадают условные и безусловные результаты при

Мы должны рассмотреть относительные вероятности, с которыми могут появляться различные значения угла При фиксированной дисперсии функция плотности выборки из наблюдений постоянна на -мерной поверхности -мерной гиперсферы. Если и фиксированы, то вектор будет лежать на гиперсфере размерности объем которой пропорционален (см. 16.24).

Рассмотрим теперь, что происходит, если вектор изменяется. может изменяться внутри где вследствие радиальной симметрии его значения равновероятны на -мерной поверхности сферы размерности Эта поверхность имеет объем, пропорциональный Следовательно, для фиксированного получаем элемент вероятности Полагая и

находим, что имеет бета-распределение

Легко видеть, что нормирующая постоянная равна Применяя преобразование (27.73) к (27.74), получаем в точности то же F-распределение, которое

было выведено в 27.28 при фиксированных Когда сводится к (16.62), с той лишь разницей, что там используется а не

27.30 Перейдем теперь к случаю, когда Распределение коэффициента для этого случая было впервые найдено Фишером (1928а) с помощью значительного развития геометрического подхода из 27.29. Мы приведем более простой вывод, принадлежащий Морэну (1950).

Соотношение (27.61) для выборочного коэффициента можно записать в виде

где есть множественный коэффициент корреляции между Коэффициент и распределение величины не изменятся, если подвергнуть ортогональному преобразованию. При этом преобразовании в качестве новой переменной выберем такую линейную функцию от старых переменных которая имеет с максимальную корреляцию, т. е. Тогда из (27.61) вытекает, что

а поскольку в (27.61) можно переставлять индексы, отличные от 1, то все частные коэффициенты вида равны нулю. Таким образом, величина некоррелирована с (а поскольку распределение нормально, то и не зависит от) и коэффициент в (27.75) распределен, как множественный коэффициент корреляции между одной величиной и другими, основанный на наблюдениях (одно измерение теряется при проектировании для получения остатков), при теоретическом Кроме того, коэффициент распределен независимо от потому что все величины согласно (27.46), ортогональны к Итак, множители в правой части (27.75) независимы. Распределение коэффициента скажем получается из (16.60) с интегрированием относительно по области его изменения. Распределение же величины скажем имеет вид (27.74) с уменьшенными на 1. Следовательно, из (27.75) находим распределение коэффициента

Опуская для удобства все индексы, получаем

Полагая в и беря интеграл от до (для компенсации последнего интеграл надо разделить на 2), получим распределение в форме Фишера:

27.31 Распределение (27.79) может быть выражено через гипергеометрическую функцию. Раскладывая подынтегральную функцию в равномерно сходящийся ряд по степеням и отбрасывая нечетные степени так как при интегрировании от до они исчезнут, получаем

Поскольку

и

то интеграл в (27.79) превращается в

что после применения гамма-функции и упрощений принимает вид

Подставляя (27.80) в качестве подинтегральной функции в (27.79), получаем

Это безусловное распределение следует сравнить с условным распределением величины приведенным в упражнении 27.13 и легко получаемым из нецентрального -распределения, данного в 27.28. Упражнение 27.14 показывает, что при оба распределения дают для нецентральное -распределение.

Первый множитель в правой части (27.81) есть распределение (27.74) для ; в этом случае второй множитель превращается в единицу. Если то (27.81) является не столь быстро сходящимся рядом по как (16.66) по . И вообще он сходится медленно, потому что первые два аргумента в гипергеометрической функции равны . В поисках более быстро сходящегося выражения соблазнительно в (27.78) вместо интеграла по подставить выражение (16.65), которое имеет вид

а так как то оно равно

Но когда мы подставим (27.82) в (27.78), то интегрирование по вряд ли приведет к более удобному результату, чем (27.81).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление