Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Множественный коэффициент корреляции

27.23 Дисперсия ошибки величины относительно ее регрессии (27.18) по остальным переменным есть она была определена в 27.9. Введем теперь множественный коэффициент корреляции между полагая

Согласно (27.56) и Определим коэффициент как корень квадратный из он всегда неотрицателен. Коэффициент очевидно, несимметричен относительно своих индексов и представляет собой на самом деле меру зависимости

Для оправдания его названия покажем, что он действительно является коэффициентом корреляции. Согласно 27.9 имеем

а аналог (27.47) для генеральной совокупности дает

Так как то из (27.57) и (27.58) следует, что

Если теперь рассмотреть корреляцию между и ее условным математическим ожиданием

то мы найдем, что она равна

Подставляя сюда (27.59), получаем согласно

Таким образом, является обычным коэффициентом корреляции между и условным математическим ожиданием

Поскольку сумма квадратов отклонений (и, следовательно, их среднее значение минимизируется при нахождении регрессии по методу наименьших квадратов, которая тождественна то из (27.60) следует, что представляет собой корреляцию между и «наиболее подходящей» линейной комбинацией величин Никакая другая линейная функция от не будет более коррелирована с

27.24 Из (27.56) и (27.34) получаем соотношения

выражающие множественный коэффициент корреляции либо через корреляционный определитель, либо через частные корреляции. Поскольку в (27.34) допустима перестановка индексов, отличных от I, то из (27.61) немедленно вытекает (так как каждый множитель в правой части лежит в интервале (0,1)), что

где произвольный частный или нулевого порядка коэффициент, содержащий 1 среди первичных индексов. Таким образом,

т. е. множественный коэффициент корреляции не меньше, чем абсолютная величина любого коэффициента корреляции с таким же первичным индексом. Если то из этого следует, что и все соответствующие В таком случае величина полностью некоррелирована всеми остальными величинами. С другой стороны, если то по крайней мере один из коэффициентов должен быть равен 1 для того, чтобы правая часть в (27.61) обращалась в нуль. В этом случае соотношение (27.56) показывает, что т. е. все точки в распределении величины лежат на линии регрессии и является строго линейной функцией от

Таким образом, коэффициент есть мера линейной зависимости величины от

27.25 До сих пор мы рассматривали множественный коэффициент корреляции между и всеми остальными случайными величинами. Но, очевидно, можно также изучать множественную корреляцию между и любым подмножеством. Итак, определим

для произвольного множества индексов Из (27.34) непосредственно вытекает, что

где любое подмножество из Следовательно, дисперсия ошибки не может возрастать при добавлении последующих случайных величин. Таким образом, из (27.63) и (27.64) получаем соотношения вида

выражающие тот факт, что коэффициент множественной корреляции никогда нельзя уменьшить путем расширения множества величин, относительно которых измеряется зависимость

В частности, при из (27.61) находим

так что равен абсолютной величине обычного коэффициента корреляции между

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление