Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Выборочные распределения частных коэффициентов корреляции и регрессии в нормальном случае

27.21 Рассмотрим теперь выборочные распределения частных коэффициентов корреляции и регрессии в нормальном случае.

Для больших выборок с очевидными изменениями могут быть использованы стандартные ошибки, соответствующие коэффициентам нулевого порядка (см. 26.13). Обозначая множество вторичных индексов, имеем из (26.24)

а из

Доказательство соотношений (27.53) и (27.54) с помощью прямых методов главы 10 очень утомительно. Однако они непосредственно следуют из того факта, что совместное распределение любых двух ошибок является двумерным нормальным с коэффициентом корреляции Таким образом, как отметил выборочные корреляции и регрессии между соответствующими остатками имеют, по крайней мере для большой выборки, то же распределение, что и коэффициент нулевого порядка. В 27.22 мы увидим, что для выборки объема точное распределение величины таково же, как у коэффициента корреляции нулевого порядка, основанного на наблюдениях, где есть число вторичных индексов в Однако, поскольку (27.53) и (27.54) верны лишь до членов порядка нам нет нужды учитывать эту малую поправку.

27.22 Рассмотрим теперь геометрическое представление из Предположим, что у нас есть три вектора представляющие собой наблюдений над Как мы видели в 27.19, коэффициент частной корреляции является косинусом угла между спроектированного на подпространство, ортогональное к размерность которого Если сделать ортогональное преобразование

поворот системы координат), то корреляции, являясь косинусами углов, останутся неизменными. Более того, если исходных наблюдений над тремя величинами были независимыми, то таковыми останутся и наблюдений над ортогонально преобразованными величинами. (Этот факт представляет собой обобщение результата, приведенного в примерах для независимых переменных а его доказательство предоставляется читателю в виде упражнения 27.7; геометрически это очевидно из радиальной симметрии нормированного многомерного нормального распределения.) Выбирая в качестве одной из новых координатных осей при ортогональном преобразовании, сразу видим, что имеет такое же распределение, как коэффициент нулевого порядка, основанный на независимых наблюдениях. Повторяя это рассуждение, получаем, что распределение коэффициента корреляции порядка основанного на наблюдениях, то же, что у коэффициента нулевого порядка, вычисленного по наблюдениям: каждый вторичный индекс влечет проектирование в выборочном пространстве на ортогональное дополнение к соответствующей переменной и потерю одной степени свободы. Приведенный результат принадлежит Фишеру (1924а).

С этим уточнением результаты предыдущей главы могут быть немедленно применены к частным корреляциям. Если мало по сравнению с то распределение частных корреляций, когда возрастает, по существу такое же, как у коэффициентов нулевого порядка, что подтверждает приближение (27.53) для стандартной ошибки.

Для частных коэффициентов регрессии, кроме того, получаем, что распределение (16.86) коэффициента нулевого порядка продолжает иметь место с заменой на когда повсюду присоединено множество вторичных индексов В частности, статистика Стьюдента (26.38) для регрессии по превращается в

степенями свободы. Если множество содержит все оставшихся переменных, то число степеней свободы равно Поскольку коэффициенты регрессии зависят как от углов, так и от расстояний (дисперсий) в выборочном пространстве, то распределение величины в отличие от случая коэффициента непосредственно не сохраняется при проектировании (с уменьшением лишь числа степеней свободы): статистики в (27.55) осуществляют поправки, учитывающие изменение расстояний при проектировании.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление