Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Геометрическая интерпретация частной корреляции

27.18 Из наших результатов вытекает, что вся совокупность частных регрессий, корреляций, а также дисперсий или ковариаций ошибок или остатков полностью определяется дисперсиями и корреляциями или же дисперсиями и регрессиями нулевого порядка. Интересно взглянуть на этот результат с геометрической точки зрения. Предположим, что у нас есть наблюдений над случайными величинами

Рассмотрим -мерное (евклидово) выборочное пространство. Наблюдениям над случайной величиной в этом пространстве будет соответствовать одна точка. Следовательно, имеется точек, по одной на каждую величину. Обозначим эти точки Предположим, что иксы отсчитываются от своих средних, и пусть точка является началом координат.

Величину можно тогда интерпретировать как квадрат длины вектора, соединяющего точку (с координатами Аналогично, можно представлять себе как косинус угла ибо

а это есть формула косинуса угла между

Наш результат тогда состоит в том, что все соотношения, связывающие точек в -мерном пространстве, могут быть выражены в терминах длин векторов и углов между ними. Таким образом, теория частной корреляции и регрессии формально тождественна с тригонометрией некоторой совокупности точек в -мерном пространстве.

27.19 Читатель, предпочитающий геометрический взгляд на рассматриваемые вопросы, без труда может переформулировать предыдущие уравнения, используя тригонометрическую терминологию. Мы укажем только наиболее важные результаты, требующиеся для дальнейших выборочных исследований.

Заметим прежде всего, что точек и точка определяют (исключая, возможно, вырожденный случай) подпространство

размерности в -мерном пространстве. Рассмотрим точку координатами которой являются остатков Согласно (27.46) вектор ортогонален к каждому из векторов следовательно, к подпространству размерности натянутому на

Рассмотрим теперь векторы остатков где заменяет вторичные индексы Косинус угла между скажем 9, равен и каждый из них ортогонален к подпространству, натянутому на Пусть на рис. 27.1 точка будет основанием перпендикуляра, опущенного из на такой точкой на что вектор перпендикулярен к Тогда ортогональны к пространству, натянутому на и косинус угла между ними, скажем равен Таким образом, для того чтобы выразить через мы должны выразить через или угол между векторами через угол между их проекциями на гиперплоскость, перпендулярную к Опустим теперь для удобства штрих По теореме Пифагора

Рис. 27.1. Геометрия частной корреляции.

Далее,

Следовательно, находим

или

Отношения явтяются синусом и косинусом угла между Косинус угла между и равен следовательно,

Такой же результат получается при замене индекса 1 на 2. Итак, согласно (27.49)

что вновь совпадает с (27.39). Таким образом, мы видим, что выражение частного коэффициента корреляции через коэффициент более низкого порядка можно представлять себе как проектирование некоторого угла в выборочном пространстве на подпространство, ортогональное к переменной, фиксированной только в исходном коэффициенте более высокого порядка.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление