Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 18. ОЦЕНИВАНИЕ: МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

18.1 В 8.6-10 мы уже познакомились с принципом максимального правдоподобия (МП) в его общей формулировке. Данная глава посвящена приложениям этого принципа к задачам оценивания и изучению его свойств как метода оценивания. При этом мы в основном будем иметь дело с выборками из независимых наблюдений из одного и того же распределения. Совместное распределение наблюдений, рассматриваемое как функция неизвестного параметра будет называться функцией правдоподобия (ФП) выборки

где обозначает плотность распределения, если оно непрерывно, либо вероятность значения х, если распределение дискретно, причем распределение может быть как одномерным, так и многомерным. Согласно принципу МП, который после появления работы Фишера (1921а) стал широко использоваться в статистической теории, в качестве оценки для следует взять то значение из области допустимых значений параметра для которого ФП принимает наибольшее возможное значение. Другими словами, надо найти такое 0, для которого при любом допустимом значении выполняется неравенство

Далее будет предполагаться, что может принимать все действительные значения из некоторого интервала (который может быть бесконечным в одну или в обе стороны).

18.2 В одном довольно общем случае вид оценки максимального правдоподобия (МП-оценки) определяется сравнительно просто. Если ФП дважды дифференцируема в своей области определения, то ее стационарные значения (если они существуют) даются корнями уравнения

Достаточным (но не необходимым) условием того, чтобы некоторое стационарное значение было локальным максимумом, является неравенство

Если таким путем мы найдем все локальные максимумы ФП и затем выберем среди них наибольший (если их несколько), то мы получим решение (или решения) (18.2) при условии, что ФП не имеет краевого максимума в граничных точках области изменения .

18.3 На практике часто проще иметь дело с логарифмом ФП, чем с самой функцией. При выполнении условий предыдущего пункта ФП и ее логарифм будут иметь максимумы в одних и тех же точках, так как

и Поэтому в тех случаях, когда это проще, ищут решения уравнения

для которых

(18.5) часто называется уравнением правдоподобия.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление