Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Соотношения между дисперсиями, регрессиями и корреляциями различных порядков

27.10 Если даны величин, то мы можем изучать корреляцию между любыми двумя из них, когда среди оставшихся зафиксированы значения произвольного подмножества величин. Аналогично, можно интересоваться регрессией произвольной величины относительно любого подмножества из оставшихся величин. С возрастанием число всевозможных коэффициентов становится очень большим. Если некоторый коэффициент содержит вторичных индексов, то говорят, что он имеет порядок Так, порядок равен 2, порядок единице, порядок нулю, тогда как имеет порядок 3, а порядок 4. В наших нынешних обозначениях коэффициенты линейной регрессии из последней главы должны быть записаны в виде соответственно. Они имеют порядок нуль, как и обычная дисперсия

В 27.4 и 27.7 мы уже видели, как любой коэффициент корреляции первого порядка может быть выражен через коэффициенты нулевого порядка. Теперь будут получены более общие результаты такого сорта для коэффициентов всех типов.

27.11 Из (27.24) и (27.19) имеем

откуда

Пользуясь символом введенным в 27.8, получаем

и аналогично, если 1 заменить любым другим индексом.

Точно таким же путем можно получить более общий результат

который сводится к (27.26) при Соотношение (27.27) применимо в случае, когда вторичные индексы одной величины включают в себя первичные индексы другой. Если, с другой стороны, оба множества вторичных индексов не содержат то

обозначим через общее множество вторичных индексов. Ковариация двух ошибок связана с их корреляцией и дисперсиями соотношениями, естественно обобщающими определения (26.10), (26.11) и (26.17), а именно:

что согласуется с уже найденным соотношением (27.21). Присоединяя множество индексов к обеим величинам мы попросту должны сделать то же самое со всеми их коэффициентами.

27.12 Теперь можно использовать (27.26) для получения соотношения между дисперсиями ошибок различных порядков. Обозначая корреляционный определитель всех величин, кроме имеем из (27.26)

(где индекс обозначает множество без и

откуда

По определению а согласно обобщенной теореме Якоби об определителях

так как является дополнительным минором для

в С. Таким образом, используя (27.30), получаем из (27.29)

или, учитывая (27.6), находим

Соотношение (27.32) является обобщением двумерного результата, приведенного в упражнении 26.23, который в наших нынешних обозначениях может быть представлен в виде

Этот результат мы также встречали в (16.46) в связи с двумерным нормальным распределением.

27.13 Соотношение (27.32) дает нам возможность выразить дисперсию ошибки порядка через дисперсию ошибки и коэффициент корреляции порядка Если мы теперь виовь воспользуемся (27.32) для того, чтобы выразить то тем же путем найдем, что

Применяя последовательно (27.32) и записывая более полно индексы, получаем

В (27.33), очевидно, не играет роли порядок вторичных индексов мы их можем переставить так, как пожелаем. Например, для простоты можно написать

в силу (27.26). В (27.34) индексы, отличные от 1, допускают перестановку. Соотношение (27.34) позволяет нам выразить дисперсию ошибки порядка через дисперсию ошибки нулевого порядка и коэффициентов корреляции, порядок которых принимает значения от нуля до

27.14 Перейдем теперь к коэффициентам регрессии. Перепишем (27.15) для ковариации между и при фиксированном

Присоединяя повсюду индексы имеем

Используя определение (27.28) коэффициента регрессии как отношения ковариации к дисперсии, т. е.

и обозначая через множество находим из (27.35)

или

Если в (27.36) положить получим

другую форму соотношения (27.32). Таким образом, из (27.36) и (27.37) имеем

Это и есть требуемая формула для выражения коэффициента регрессии через некоторые коэффициенты следующего более низкого порядка. Повторно применяя (27.38), найдем представление любого коэффициента регрессии в терминах коэффициентов нулевого порядка.

Наконец, используя (27.21), из (27.38) получаем соотношение

обобщающее (27.5) путем присоединения множества индексов

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление