Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 27. ЧАСТНАЯ И МНОЖЕСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

27.1 В случае двух нормальных или почти нормальных величин коэффициент корреляции между ними может быть использован, как мы видели в 26.10, в качестве меры взаимозависимости. Однако на практике при интерпретации «взаимозависимости» часто встречаются те же трудности, которые уже обсуждались в 26.4, а именно: если одна величина коррелирована с другой, то это может быть всего лишь отражением того факта, что они обе коррелированы с некоторой третьей величиной или с совокупностью величин. Указанная возможность приводит нас к рассмотрению условных корреляций между двумя величинами при фиксированных значениях остальных величин. Это так называемые частные корреляции.

Если корреляция между двумя величинами уменьшается, когда мы фиксируем некоторую другую случайную величину, то это означает, что их взаимозависимость возникает частично через воздействие этой величины; если же частная корреляция равна нулю или очень мала, то мы делаем вывод, что их взаимозависимость целиком обусловлена этим воздействием. Наоборот, когда частная корреляция больше первоначальной корреляции между двумя величинами, то мы заключаем, что другие величины ослабляли связь, или, можно сказать, «маскировали» корреляцию. Но нужно помнить, что даже в последнем случае мы не имеем права предполагать наличие причинной связи: согласно рассуждениям из 26.4, некоторая совершенно отличная от рассматриваемых в нашем анализе величина может быть источником этой корреляции. Как при обычной корреляции, так и при частных корреляциях предположение о причинности должно всегда иметь внестатистические основания.

27.2 В этой области статистики временами трудно достигнуть недвусмысленных и гибких обозначений без того, чтобы они были крайне громоздкими. Основываясь на системе обозначений Юла (1907), мы будем придерживаться среднего курса, но иногда от читателя потребуется терпение к индексам.

Как и в главе 26, мы попутно будем рассматривать также линейную регрессию, но основное рассмотрение задач регрессии отложим до главы 28.

Частная корреляция

27.3 Рассмотрим три величины, имеющие трехмерное нормальное распределение. Исключим вырожденный случай (см. 15.2) и без потери общности, поскольку мы касаемся лишь корреляций, будем считать величины нормированными. Тогда их матрица рассеяния совпадает с матрицей их корреляций, которую назовем корреляционной матрицей и обозначим С. Таким образом, если корреляция между есть то согласно (15.19) функция плотности имеет вид

где алгебраическое дополнение элемента в симметричном корреляционном определителе

— есть элемент матрицы, обратной к С. Мы будем иногда записывать определитель или матрицу корреляций в таком виде, когда оставлено свободным место ниже главной диагонали, которое должно заполняться по симметрии. Из (15.20) находим х. ф. этого распределения

27.4 Рассмотрим корреляцию между при фиксированном значении Условное распределение при заданном равно

где

Из (27.4) видно, что при заданном величины имеют двумерное нормальное распределение с коэффициентом корреляции

Ясно, что не зависит от фиксируемого значения величины Кроме того, сокращая на общий множитель из (27.2) находим

называется частным коэффициентом корреляции между при фиксированном Он симметричен относительно первичных индексов 1, 2. Его вторичный индекс 3 относится к переменной, которая фиксирована.

Хотя (27.5) выведено в предположении нормальности, мы теперь для любого исходного распределения определим частный коэффициент корреляции с помощью (27.5).

27.5 Аналогично, если мы имеем -мерное невырожденное нормальное распределение и фиксируем случайных величины, то получаем частную корреляцию оставшихся двух (скажем, ):

где алгебраическое дополнение для в определителе

Подобно (27.5), (27.6) следует рассматривать как общее определение частного коэффициента корреляции между при фиксированных

27.6 Полезно рассмотреть ту же задачу с другой точки зрения. Обозначим условную совместную плотность распределения величин когда фиксированы, совместное маргинальное распределение

Совместная х. ф. всех величин есть

где условная совместная х. ф. для Из многомерной теоремы обращения (4.17) следует, что

Если в (27.8) положить то из равенства единице получаем

Следовательно, после деления (27.8) на (27.9) находим

Этот общий результат вытекает из теоремы Бартлетта (1938).

Предположим теперь, что наши величин имеют многомерное нормальное распределение. Тогда, используя их х. ф. (15.20), преобразуем подинтегральную функцию числителя в (27.10):

Теперь интеграл относительно от двух последних множителей в правой части (27.11) является обратным преобразованием многомерной нормальной х. ф. величин причем отсчитывается от значения Это изменение начал координат не влияет на корреляции. Если обозначить корреляционную матрицу величин то с точностью до постоянного множителя интеграл от (27.11) будет равен

Учитывая сказанное, из (27.10) имеем

Таким образом, если обозначает ковариацию между в условном распределении величин , а — их безусловную ковариацию, то, сравнивая в (27.12) коэффициенты при находим

Это выражение получено в предположении, что исходные величины нормированы. Если теперь отказаться от нормировки, так что будет иметь дисперсию то каждое заменится на соответствующее ему на и мы получим более общую форму соотношения (27.13):

Равенство (27.14) не зависит от фиксируемых значений

Если обозначить безусловную -матрицу рассеяния через A, -матрицу через В и -матрицу рассеяния, из которой получается в результате нормировки, через то (27.14) утверждает, что условная матрица рассеяния равна

27.7 В. частности, если зафиксировать только одну переменную, скажем то и условная ковариация (27.14) тогда равна

При из (27.15) находим условную дисперсию и:

Из двух, последних формул получаем условный коэффициент корреляции

того же вида, что и (27.5).

Если зафиксируем все переменные, кроме двух, скажем то из (27.14) будем иметь

Рассматривая (27.7), находим, что минор элемента а именно

может быть разложен по его первой строке и столбцу в виде

и аналогично для миноров элементов Таким образом, (27.16) представимо в форме

что вновь совпадает с (27.6).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление