Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Достаточность в случае зависящей от параметра области изменения варианты

17.40 Рассмотрим теперь ситуацию, в которой область изменения варианты зависит от 0. Мы опускаем тривиальный случай Пусть сначала от зависит только нижняя граница области изменения. Тогда плотность распределения будет определена на отрезке где монотонная функция от параметра изменяющегося в некотором невырожденном интервале.

Точно так же, как в примере 17.16, мы получим

где наименьшее значение в выборке, а

Из вида функции правдоподобия ясно, что невозможно выделить в сомножитель, не зависящий от 0; поэтому одномерной достаточной статистикой, если такая существует, может быть только Но статистика может быть достаточной, только если разлагается в произведение двух функций, одна из которых зависит от х, а другая — от 0, т. е. если

Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы функция правдоподобия имела вид

т. е. чтобы согласно была достаточной.

Мы придем к такому же результату (с заменой на в случае варианты, меняющейся в пределах а где -монотонная функция от будет тогда и только тогда одномерной достаточной статистикой, когда выполняется (17.89).

При предположении (17.89) в упражнении 17.24 требуется, используя результат пункта 17.35, найти явный вид единственной несмещенной МД-оценки для произвольной функции Следует отметить, что в этой задаче параметр выбран так, что он совпадает с соответствующим пределом области изменения варианты.

17.41 Если оба предела изменения варианты зависят от 0, т. е. то мы имеем

Рассуждения, аналогичные предыдущим, показывают, что необходимым и достаточным условием того, что крайние наблюдения образуют систему достаточных статистик для 0, является (17.89). Посмотрим теперь, существует ли в данном случае одномерная достаточная статистика; заметим, что если такая статистика существует, то она является функцией от х и от

По существу, мы должны решить вопрос о существовании одномерной статистики, которая показывала бы, чему равно произведение нулю или единице. Это произведение равно единице, если

Имеется четыре возможности:

(I) - возрастающие функции от 0. Тогда (17.90) принимает вид

(II) - убывающие функции от 0. Тогда (17.90) принимает вид

(III) возрастает, убывает. Тогда (17.90) принимает вид

(IV) убывает, возрастает. Тогда (17.90) принимает вид

В случаях (I) и (II) не существует одномерной достаточной статистики, так как необходимо знать и Что касается случая (III), то (17.91) показывает, что функция где

эквивалентна произведению т. е. является одномерной достаточной статистикой для 0. Аналогично в случае (IV) одномерной достаточной статистикой будет

так как эквивалентна произведению Резюмируя, можно сказать, что если верхний предел есть монотонно убывающая функция нижнего и выполнено (17.89), то существует одномерная достаточная статистика, даваемая равенствами (17.93) или (17.94), соответственно тому, является возрастающей или убывающей функцией от 0. Упражнение 20.13 дает распределение из которого легко пот лучить и распределение

Изложенные результаты были получены Питмэном (1936) и Дэвисом (1951). Требование, чтобы принадлежало невырожденному интервалу, является существенным (см. пример 17.23).

Пример 17.18

Для прямоугольного распределения

имеет место случай (IV) пункта 17.41. Одномерная достаточная статистика (17.94) принимает вид

и совпадает ввиду неравенства со статистикой

которая приемлема и с интуитивной точки зрения.

Пример 17,19

Распределение

удовлетворяет условию (17.89), так как можно написать

Следовательно, наименьшее наблюдение является достаточной статистикой для нижнего предела а.

Пример. 17.20

Распределение

очевидно, не может быть приведено к виду (17.89); следовательно, при для не существует одномерной достаточной статистики.

Пример 17.21

Рассмотрим распределение

зависящее от двух параметров. Ясно, что при фиксированном достаточна для а при фиксированном достаточна для а. Кроме того, совместно достаточны для Это следует из того, что совместное распределение и даваемое формулой (14.2) с имеет вид

и поэтому можно написать

Пример 17.22

Прямоугольному распределению

соответствует случай (I) пункта 17.41. Одномерной достаточной статистики здесь не существует, но пара образует достаточную систему, так как (17.89) выполняется.

Пример 17.23

В случае прямоугольного распределения

когда может принимать только целочисленные значения, верхний предел не является монотонно убывающей функцией нижнего предела. Однако очевидно, что любое наблюдение из выборки объема будет одномерной достаточной статистикой для 0. В действительности оценивает даже с нулевой дисперсией. Если ограничение, что принимает только целочисленные значения, исключить, то, в соответствии с 17.41, одномерной достаточной статистики существовать не будет.

17.42 На этом мы заканчиваем обсуждение основных идей теории оценивания. Дальнейшее развитие теории достаточных статистик будет дано в главах 23, 24. А пока мы продолжим изучение теории оценивания с другой точки зрения—мы исследуем свойства оценок, получаемых методом максимального правдоподобия.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление