Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Оценивание «ро» в нормальных выборках

26.14 Выборочная теория двумерного нормального распределения изложена в 16.23-36. Опираясь на наши результаты из глав 17 и 18, мы можем рассмотреть задачу оценивания коэффициента по выборке.

В 16.24 было фактически показано, что функция правдоподобия дается выражением (16.52), в которое наблюдения входят только через пять статистик: Следовательно, они образуют систему достаточных статистик для пяти параметров: и согласно 23.10 их распределение полно. Далее, из (16.52) вытекает, что, даже если первые четыре параметра известны, тем не менее для одного требуется эта пятикомпонентная достаточная статистика.

В главе 18 было показано, что оценка максимального правдоподобия коэффициента принимает различные формы в зависимости от того, какие из остальных параметров оцениваются одновременно с МП-оценка всегда является функцией от системы достаточных статистик, но в разных ситуациях это разные функции. Когда оценивается только МП-оценка есть корень кубического уравнения (пример 18.3); когда оцениваются все пять параметров, то МП-оценка представляет собой выборочный коэффициент корреляции (пример 18.14). На практике последний случай встречается наиболее часто, и мы теперь рассмотрим оценивание с помощью или некоторых функций от него.

26.15 Точное распределение коэффициента которое зависит только от дается в (16.61) или в более удобной форме в (16.66). Его среднее значение определяется гипергеометрическим рядом (16.73). Раскладывая в (16.73) гамма-функции в ряды Стерлинга (3.64) и беря два главных члена гипергеометрической функции, находим

Таким образом, является несколько смещенной оценкой для когда Смещение, как правило, мало, но интересно исследовать вопрос о том, можно ли его устранить.

26.16 Есть два подхода к этой задаче. Прежде всего, можно задать вопрос: существует ли функция такая, что равенство

выполняется тождественно по Хотеллинг (1953) показал, что если не зависит от то может быть только линейной функцией от а Харли (1956, 1957) доказал, что в самом деле

Простое доказательство результата Харли дано Даниэлсом и Кендаллом (1958).

26.17 Второй, более прямой подход состоит в том, чтобы искать функцию от являющуюся несмещенной оценкой самого Согласно результату Хотеллинга из 26.16 эта функция должна зависеть от Так как является функцией от системы полных достаточных статистик, то несмещенная функция от должна быть единственной (см. 23.9). Олкин и Прэтт (1958) нашли несмещенную оценку для (обозначим ее представимую в виде гипергеометрической функции

Раскладывая ее в ряд, получаем

Все члены ряда неотрицательны, поэтому

и равенство выполняется только тогда, когда или 1. Тем не менее поскольку и -возрастающая функция от то 1.

Очевидно, первый поправочный член в (26.35) нейтрализует отрицательное смещение порядка в (26.31). Олкин и Прэтт рекомендуют использовать в качестве оценки величину

Выражение в фигурных скобках (26.36) отличается от не более чем на 0,01 при и не более чем на 0,001 при равномерно по

Олкин и Прэтт приводят точные таблицы для которые показывают, что если то никогда не превосходит более чем на 5%.

В заключение отметим, что поскольку входит только в знаменатель гипергеометрического ряда, то при так что эта статистика имеет такое же предельное распределение, как и а именно нормальное распределение со средним и дисперсией

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление