Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Выборочные коэффициенты и их стандартные ошибки

26.12 Перейдем теперь к рассмотрению задач о выборочных коэффициентах корреляции и регрессии. Как обычно, будем соблюдать соглашение о том, что латинской буквой обозначается выборочная статистика, а греческой — ее эквивалент по генеральной совокупности. Таким образом, для выборочных коэффициентов регрессии и корреляции имеем

где суммирование происходит по всем выборочным значениям: Для вычислительных целей, так нее как в случае генеральных коэффициентов эти выражения можно представить в виде

Как и раньше,

26.13 Легко найти стандартные ошибки коэффициентов (26.22). Действительно, в примере 10.6 уже была получена асимптотическая дисперсия величины Там мы видели, что это (в общем случае) есть выражение, включающее в себя все вторые и четвертые моменты совокупности, из которой извлекается выборка. Однако в нормальном случае мы нашли, что оно сводится к

Выражение (26.24) имеет для практики небольшую ценность, поскольку распределение коэффициента слишком медленно сходится к нормальному (см. 16.29): неразумно пользоваться нормальным приближением при Эта трудность

практически несущественна, так как (см. 16.33) простое преобразование статистики

дает величину, распределение которой (для нормальной выборки) значительно ближе к нормальному с приближенным средним

и приближенной дисперсией

не зависящей от Для допустимо использование этой стандартной ошибки величины Более точные аппроксимации даны в 16.33.

В случае выборочного коэффициента регрессии у по х

использование (10.17) приводит, в точности как для в примере 10.6, к выражению

Подставляя сюда дисперсии и ковариацию из (10.23) и (10.24), находим

Если исходная совокупность нормальна, то, учитывая соотношения из примера 3.17, получаем

Аналогично, для коэффициента регрессии х по у имеем

Выражения (26.29) и (26.30) (когда в них заменены на и более полезны для вычисления стандартных ошибок, чем (26.24), потому что, как мы видели в 16.35, распределение величины 62 симметрично относительно Читателю предлагается в качестве упражнения 26.9 показать с помощью (16.86), что соотношение (26.29) является точным, если его умножить на и что распределение статистики быстро сходится к нормальному ввиду того, что ее эксцесс есть величина порядка

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление