Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Коэффициент корреляции

26.9 Учитывая результат из 26.8, мы рассмотрим теперь общий случай, в котором регрессия не является точно линейной. Коэффициенты линейной регрессии (26.10) и (26.11) служат коэффициентами приближенных прямых регрессии, хотя иногда эти прямые могут оказаться точными.

Определим теперь по смешанному моменту коэффициент корреляции полагая

откуда, учитывая (26.10), (26.11) и (26.16), находим, что

Коэффициент является симметричной функцией относительно х и у, каким и должен быть любой коэффициент взаимозависимости. Так как он представляет собой однородную функцию от центральных моментов, то он инвариантен относительно изменений начала координат и масштаба. Коэффициент имеет тот же знак, что поскольку у каждой из трех величин числитель равен а все знаменатели положительны. Если то Из (26.17) видно, что есть среднее геометрическое между

По неравенству Коши — Буняковского

так что

Равенство в правой части (26.18) выполняется (см. 2.7) тогда и только тогда, когда пропорциональны, т. е. х и у связаны строго линейной функциональной зависимостью. Следовательно, коэффициент по существу, равен ковариации деленной на некоторую величину, гарантирующую, что лежит в интервале

Легко показать, что угол между двумя линиями регрессии (26.12) и (26.13) есть

Поэтому, когда изменяется от —1 до возрастает от до максимального значения при и затем убывает вновь к 0. Следовательно, две линии регрессии совпадают тогда и только тогда, когда х и у связаны строго линейной функциональной зависимостью. Угол между линиями регрессии является прямым тогда и только тогда, когда . В этом случае говорят, что х и у некоррелированы.

Можно показать, что

где означает вычисленную дисперсию. Доказательство соотношения (26.20) предлагается читателю в качестве упражнения 26.13.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление