Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Достаточные статистики для нескольких параметров

17.38 Идеи предыдущих пунктов непосредственно обобщаются на случай распределений, зависящих от нескольких параметров По существу, не появится также ничего нового, если мы будем вместо одномерных рассматривать многомерные распределения. Итак, пусть векторная варианта с компонентами, вектор, компонентами которого служат статистик, и вектор параметров .с компонентами. Результаты пунктов 17.31 и 17.32 в этом случае почти не изменяются. Если можно написать соотношение

то совокупность компонент вектора будет называться системой (совместно) достаточных статистик для 0. Свойство (17.67) выводится так же, как и раньше.

Число компонент вектора может быть больше, равно или меньше, чем число компонент вектора параметров. Если то мы имеем дело с одномерной достаточной статистикой. (Таким образом, термин «достаточная статистика», которым мы пользовались до сих пор, следовало бы заменить термином «одномерная достаточная статистика».) Полагая мы видим, что сами наблюдения всегда образуют систему достаточных статистик для Желая упростить задачу анализа данных, мы, естественно, хотим, чтобы было как можно меньше. Но даже это требование не является достаточно ограничительным (см. упражнение 18.13). В главе 23 мы определим понятие минимальной системы достаточных статистик, которая будет функцией от всех других систем достаточных статистик.

Очевидно, что из совместной достаточности для не следует, что какая-нибудь отдельная компонента скажем служит достаточной статистикой для Так будет только в том случае, когда разлагается в произведение, одним из сомножителей которого является Неверно и обратное: индивидуальная достаточность каждого из при известных остальных не обеспечивает совместной достаточности.

Для результат пункта 17.35 сохраняется, если вектор, имеющий компонент (случай бессодержателен). При этом, чем меньше тем легче этот результат использовать,

Пример 17.17

Рассмотрим оценивание параметров распределения

Поскольку

а совместное распределение (пример 11.7) имеет вид

то, учитывая соотношение получим

Таким образом, совместно достаточны для Мы уже видели, что х достаточна для при известном (примеры 17.6, 17.15), а достаточна для при известном (примеры 17.10, 17.15). Из (17.85) легко видеть, что одна не будет достаточной для

17.39 Основные результаты, относящиеся к достаточным статистикам, естественным образом обобщаются на случай параметров. Условие (обобщающее того, что распределение обладает системой статистик, совместно достаточных для параметров, при аналогичных предположениях о непрерывности и существовании производных выглядит следующим образом:

Оно было получено Дармуа (1935), Купмэном (1936) и Питмэном (1936). Более общие результаты, связанные с этим вопросом, получили Баранкин и Майтра (1963). Результат пункта 17.35 о свойствах функций от достаточных статистик как единственных оценках с минимальной дисперсией обобщается в следующей теореме Рао (1947): при одновременном оценивании функций от параметров несмещенные оценки являющиеся функциями от минимальной системы из достаточных статистик, имеют минимальные достижимые дисперсии. Нижние границы (не обязательно достижимые) дисперсий этих

функций определяются (если область изменения вариант не зависит от соотношением

где элементы матрицы, обратной к информационной матрице

Неравенство (17.87) обобщает неравенства (17.22) и (17,50), являющиеся его простейшими частными случаями. Подобно (17.22), (17.87) учитывает только члены порядка

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление