Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Линейная регрессия

26.7 Если регрессия х по у, определенная в (26.2), в точности линейна, то имеет место уравнение

для которого сейчас найдем коэффициенты Взяв от обеих частей (26.8) математическое ожидание, получим

Вычитая (26.9) из (26.8), умножая обе части на и беря вновь математические ожидания, получаем

или

где дисперсия у. Аналогично, из (26.1) находим

для коэффициента в точной линейной регрессии у по х. Соотношения (26.10) и (26.11) определяют (линейные) коэффициенты регрессии х по по Используя (26.8), (26.9) и (26.10), находим

и, аналогично,

Равенства (26.12) и (26.13) называются уравнениями линейной регрессии.

Со случаем точной линейной регрессии мы уже встречались при рассмотрении двумерного нормального распределения в 16.23.

Пример 26.3

В примере 26.1 регрессии по по строго линейны. Действительно, из 16.23 при в (16.46) имеем

Таким образом,

Каждому соответствуют значения , появляющиеся с равными вероятностями. И поскольку есть функция только от то

что можно переписать в виде (26.12):

Следовательно, регрессия по строго линейна. Аналогично,

В примере 26.1 мы видели, что а дисперсия хи-квадрат распределения с одной степенью свободы, как известно, равна 2. Поэтому равенства (26.10) и (26.11) подтверждают, что является коэффициентом регрессии в каждом из уравнений линейной регрессии.

Пример 26.4

В условиях примера 26.2 легко видеть, что Следовательно, в данном случае получаем линейные регрессии с коэффициентами, равными нулю.

Пример 26.5

Рассмотрим величины из примера 26.3. Там мы видели, что регрессия по линейна с коэффициентом следовательно, она нелинейна по х при Однако поскольку то

так что регрессия х по линейна с коэффициентом регрессии, равным нулю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление