Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Ковариация и регрессия

26.6 Кажется естественным использовать в качестве основы для меры зависимости смешанный момент с которым мы уже несколько раз встречались в предыдущих главах. Момент называемый ковариацией между х и у, в случае дискретной совокупности определяется соотношением

где число пар значений х, у, а средние величин х, у. В случае непрерывной совокупности с распределением

соответствующая формула имеет вид (см. 3.27)

Если величины х, у независимы, то, как мы видели в примере 12.7,

Согласно этому же примеру обратное, вообще говоря, неверно: из (26.6) в общем случае не следует независимость, для которой требуется, чтобы

Однако в случае двумерного нормального распределения при всех так что есть единственный ненулевой смешанный семиинвариант. Таким образом, (26.6). влечет (26.7) и независимость для нормальных величин. Это может оказаться справедливым и для других конкретных распределений, но в общем случае это не так. Пример 26.1 содержит распределение, отличное от нормального, для которого равенство влечет независимость; в примере же 26.2 приведено распределение, для которого это неверно.

Пример 26.1

Пусть х и у — нормированные величины, имеющие двумерное нормальное распределение. Тогда совместная характеристическая функция величин равна

Согласно упражнению 1.5 двойной интеграл равен

Поэтому

Отсюда получаем

так что маргинальные распределения являются хи-квадрат распределениями с одной степенью свободы, что нам уже известно. Дифференцируя логарифм функции находим

Когда мы имеем

Согласно это равенство служит необходимым и достаточным условием для независимости Следовательно, влечет в данном случае независимость.

Пример 26.2

Пусть величины х и у имеют двумерное распределение, равномерное на круге радиуса единица с центром в начале координат. Имеем

откуда

что, впрочем, очевидно. Но поскольку интервал изменения каждой из величин зависит от значения другой, то величины х и у не являются независимыми.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление