Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Другие меры эффективности критериев

25.16 Хотя в последующих главах в качестве мер эффективности критериев будут использоваться только относительная эффективность и АОЭ, мы закончим эту главу обсуждением двух других предлагавшихся методов.

Уолш (1946) предложил сравнивать критерии при фиксированном размере а на основе меры, которая принимает в расчет качество критериев при всех альтернативных значениях параметра 6. Если критерии основаны на выборках объемов и имеют функции мощности то эффективность по сравнению с есть где

Таким образом, при заданном объеме одной из выборок (скажем, мы выбираем так, чтобы алгебраическая сумма площадей между функциями мощности равнялась нулю. Тогда мера эффективности есть

Эта мера разумным образом устраняет влияние 8 из таблицы с тремя входами, требуемой для сравнения двух функций мощности. Однако по-прежнему зависит от а и, что более важно, от Кроме того, вычисление такого чтобы удовлетворялось соотношение (25.65), трудоемко, и, возможно, вследствие этого приведенная мера редко используется. Тем не менее в качестве асимптотической меры она эквивалентна АОЭ, по крайней мере для асимптотически нормальных статистик критериев с 1 в (25.15). Действительно, как и в 25.12, имеем

где (как в (25.16)), и тогда (25.65) принимает вид

Ясно, что (25.66) выполняется асимптотически только тогда,

когда или, согласно (25.16), когда

откуда

что соответствует (25.27) с

25.17 В заключение приведем принадлежащий Чернову (1952) совершенно иной подход к задаче измерения асимптотической эффективности критериев.. Для случайной величины х с производящей функцией моментов определим

— абсолютно минимальное значение величины Если для простых гипотез Но, то положим

где индекс у функций определенных в указывает на соответствующую гипотезу. Пусть односторонний критерий для гипотезы против основан на сумме одинаково распределенных величин и имеет уровень а и мощность Для такого критерия Чернов показал, что если минимизировать любую линейную функцию от вероятностей ошибок то ее минимальное значение при ведет себя, как где определено в (25.68). Рассмотрим два таких критерия основанных на выборках объемов Если они имеют одинаковые минимумы то

или

Таким образом, правая часть (25.69) является мерой асимптотической эффективности критерия по сравнению с Ее использование ограничено случаями, в которых статистики критериев основаны на суммах независимых наблюдений, и при этом могут потребоваться значительные вычисления.

25.18 Гёфдинг (1965) развил метод сравнения критериев, когда при (в отличие от подхода, используемого в 25.5 и далее, где а фиксировано, а при пользуясь этим методом, показал, что критерии ОП обладают оптимальным свойством для гипотез о мультиномиальных распределениях

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление