Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Интерпретация величины m

25.10 Обсудим теперь общие условия, при которых принимает значение 1 или 2. Рассмотрим снова асимптотическую функцию мощности (25.13) критерия (25.12) для односторонней альтернативы Для краткости в этом пункте мы будем опускать индекс Если и по условию то

есть монотонно возрастающая функция от

Если является возрастающей функцией от то когда (последнее означает, что в качестве критической области при использовался бы другой «хвост» распределения статистики критерия). Если существует производная то она отлична от нуля и а также согласно

Предположим, с другой стороны, что представляет собой четную функцию от возрастающую при росте (в этом случае в качестве критической области при любом знаке разности использовался бы один и тот же «хвост»). Пусть, кроме того, существует производная которая должна, при условиях регулярности, равняться нулю. Тогда и в практических случаях оказывается, что Согласно (25.36) также с той же степенью аппроксимации.

Мы теперь можем понять, почему (как замечено в конце 25.6) АОЭ бесполезна при сравнении критериев с различными значениями равными на практике 1 и 2. Это происходит потому, что тогда сравниваются критерии, функции мощности которых ведут себя существенно по-разному в точке одна имеет там регулярный минимум, другая — нет. Неопределенность выражения (25.25) не является для такой ситуации неожиданной. Нужно добавить, что в данный момент эта неопределенность представляет чисто теоретический Интерес, поскольку, кажется, неизвестны случаи, к которым она была бы приложима.

Пример 25.3

Рассмотрим задачу проверки гипотезы Но: в случае нормальной совокупности со средним и дисперсией 1. Мы имеем пару односторонних РНМ критериев, основанных на выборочном среднем х (см. 22.17), причем в качестве критической области выбирается верхний или нижний «хвост», когда

состоит из или соответственно. Согласно примеру 25.2, для

В качестве статистики критерия можно было бы использовать также

Величина имеет нецентральное -распределение с степенями свободы и параметром нецентральности поэтому (см. упражнение 24.1)

Когда статистика асимптотически нормальна. Имеем откуда и

Поскольку то из Так как для то согласно статистики по сравнению с х равна нулю. Критическая область для образована верхним «хвостом», независимо от значения 0.

25.11 Перейдем теперь к случаю двусторонней альтернативы Функция мощности критерия с «равными хвостами» дается асимптотически соотношением (25.28). Ее производная в точке равна

где определяются из (25.36), если и выполняется (25.33) или (25.47). Поскольку в является четной функцией относительно то из (25.48) немедленно получаем асимптотический результат

говорящий о том, что наклон функции мощности в асимптотически равен нулю. Этот результат следует также (при условиях регулярности) из замечания в 24.17, касающегося асимптотической несмещенности состоятельных критериев.

Вторая производная функции мощности (25.28) равна

Мы нашли в (25.44), где было Соотношение (25.44) будет выполняться и при если усилить первое условие в (25.47), полагая

потому что тогда, согласно (25.16), вторым членом в правой

части (25.39) можно пренебречь и мы получаем, как и прежде, (25.44). Подставляя (25.44) в (25.49), имеем

а с помощью условия (25.50) это соотношение преобразуется к виду

Следовательно, в этом случае из (25.27) и (25.51) находим

Таким образом, если то асимптотическое отношение вторых производных функций мощности двусторонних критериев совпадает с соответствующим отношением (25.46) для односторонних критериев, когда Оно равно также квадрату выражения (25.37), относящегося к односторонним критериям при

Случай для критериев с двусторонней критической областью кажется не очень важным: замечания в 25.10 показывают, что там, где часто может быть использован критерий с односторонней критической областью даже против двусторонней альтернативы

Пример 25.4

В примере 25.2 оба критерия имеют Поскольку дисперсия каждой статистики не зависит от 0, по крайней мере асимптотически, то выполнены предположения (25.33) и (25.50) и условия регулярности, так что из (25.37) для односторонних критериев имеем

тогда как для двусторонних критериев из (25.52) получаем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление