Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

АОЭ и производные функций мощности

25.8 Природа последовательности альтернативных гипотез (25.7), приближающейся к при показывает, что АОЭ каким-то образом связана с поведением функций мощности сравниваемых критериев вблизи Мы установим эту связь точнее, показав, что при определенных условиях АОЭ просто выражается через отношение производных функций мощностей.

Рассмотрим сначала случай односторонней гипотезы обсуждавшийся в . В этом случае функции мощности критериев задаются асимптотически соотношением (25.13), которое, как и прежде, запишем в виде

Дифференцируя по 0, имеем

где нормальная функция плотности. Из (25.13) находим

Используя (25.18) и дополнительные условия регулярности

получаем, что (25.31) при превращается в

Таким образом, если в и если

то (25.32) в точке приводится к виду

Поскольку согласно (25.13)

то, подставляя (25.34) и (25.35) в (25.30), имеем

Вспоминая, что из (25.36) и (25.27) находим

т. е. асимптотическое отношение первых производных функций мощности критериев в точке равно АОЭ в степени (обычно Таким образом, если бы мы использовали это отношение как показатель асимптотической эффективности критериев, то получали бы в точности такие же результаты, как при использовании АОЭ. Этот показатель был предложен (под названием «асимптотическая локальная эффективность») Бломквистом (1950).

25.9 Если т. е. то (25.36) равно нулю (при нашей степени аппроксимации) и результат из 25.8 бесполезен. Нужно продолжить дифференцирование для того, чтобы получить полезные результаты. Из (25.30) находим

Согласно

Если выполняются условия (25.18) с условия регулярности, указанные после (25.31), а также соотношения

то равенство (25.39) принимает вид

Вместо. (25.33) предположим теперь, что

Условия (25.42) приводят (25.41) к виду

Возвращаясь к (25.38), мы видим, что поскольку

то, используя (25.32), (25.35) и (25.43), из (25.38) имеем

Так как мы рассматриваем случай то член с равен нулю. Учитывая второе из условий (25.42), перепишем окончательно соотношение (25.44) в виде

Отсюда при для предела отношения вторых производных равенство (25.27) дает

Соотношения (25.37) и (25.46) можно объединить в следующем утверждении. Для отношение производных функций мощности односторонних критериев асимптотически равно АОЭ, возведенной в степень

Если вместо (25.33) и (25.42) наложить более сильные условия

которые вместе с (25.16) влекут (25.33) и (25.42), то (25.34) и (25.43) будут следовать, как и прежде, из (25.32) и (25.41). В конкретных случаях предположения (25.47) могут оказаться более простыми для проверки.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление