Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Распределения, обладающие достаточными статистиками

17.36 Теперь мы постараемся определить класс распределений, для параметра которых существует достаточная статистика. Сначала будет рассмотрен случай, когда область изменения варианты не зависит от параметра Если достаточна для в выборке из независимых наблюдений, то из (17.71) следует, что

где К есть некоторая функция от и 0. Рассматривая (17.79) как уравнение относительно мы видим, что оно остается справедливым для любого значения 0, в частности, равного нулю. Отсюда ясно, что может быть представлено в виде

где произвольные функции. Если будет функцией, обозначим ее только от и Поэтому из (17.79) вытекает, если существуют написанные ниже производные, что

Левая часть (17.81) зависит только от и от только от Отсюда следует, что зависит только от и Но производная симметрична относительно иксов и, следовательно, зависит лишь от 0. Поэтому, интегрируя ее по получим

где произвольные функции от 0. Таким образом, (17.79) принимает вид

откуда

что дает необходимое условие существования достаточной статистики:

Этот результат, принадлежащий Дармуа (1935), Питмэну (1936) и Купмэну (1936), в точности совпадает с формулой (17.30), определяющей общий вид распределений экспоненциального семейства и выведенной как условие существования МГД-оценки для некоторой функции от 0.

Работа Брауна (1964) посвящена условиям регулярности, достаточным для справедливости этого результата, и содержит ссылки не относящиеся к этому вопросу публикации.

Если выполняется (17.83), то в случае, когда область определения не зависит от 6, функция правдоподобия будет достаточной статистикой для 0. Таким образом, в этом случае условие (17.83) является достаточным для того, чтобы распределение обладало достаточной статистикой.

Все перечисленные в примере 17.15 распределения имеют вид (17.83).

17.37 Итак при выполнении условий регулярности имеется взаимно однозначное соответствие между существованием достаточной статистики для и существованием МГД-оценки для некоторой функции от 9. Если выполняется (17.83), то существует достаточная статистика для и имеется ровно одна функция от этой статистики (являющаяся сама достаточной статистикой), которая удовлетворяет (17.27) и оценивает, следовательно, некоторую функцию с дисперсией, равной МГД.: Для больших выборок, кроме того, любая функция от достаточной статистики оценивает свое математическое ожидание с

точностью, равной МГД (см. 17.23). Наконец, для любого любая функция от достаточной статистики будет для своего математического ожидания оценкой с минимальной достижимой дисперсией (см. 17.35).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление