Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Асимптотическая относительная эффективность

25.5 Для того чтобы из относительной эффективности получить полезную асимптотическую меру эффективности критерия, рассмотрим предел относительных эффективностей критериев, в которых с ростом альтернативное значение параметра приближается к проверяемому значению Этот тип альтернатив был впервые исследован Питмэном (1948), результаты которого были обобщены Нётером (1955). Другие типы предельных процессов в определении относительных эффективностей рассматривались Диксоном (1953b), Ходжесом и Леманом (1956).

Пусть статистики состоятельных критериев для проверки гипотезы против односторонней альтернативы Предположим на время, что и 10 асимптотически нормальны при любом значении 0, — в 25.14-15 мы ослабим это требование. Для краткости обозначим

При больших выборках критерии размера а определяются критическими областями

(знак выбирается так, чтобы область имела такой вид), где нормальное отклонение, определяемое из уравнения как и прежде, — стандартная нормальная ф. р. Следуя в точности примеру 22.3, для асимптотической функции мощности, основанной на статистике имеем

Обозначая аргумент функции в (25.13) и разлагая в ряд Тейлора, получаем

где порядок первой ненулевой производной в точке т. е. определяется условиями

С целью задания альтернативной гипотезы предположим, что при

Соотношение (25.16) определяет константы Рассмотрим теперь последовательности альтернативных значений параметра, приближающихся к при

где произвольная положительная константа. Если выполнены условия регулярности

то с помощью (25.16), (25.17) и (25.18) равенство (25.14) приводится к виду

и согласно (25.13) асимптотические мощности критериев равны

25.6 Для того чтобы при любом фиксированном а два критерия имели одинаковые мощности против одной и той же последовательности альтернатив, согласно (25.17) и (25.19) должно быть

и

где — объемы выборок, на которых основаны Объединяя (25.20) и (25.21), имеем

Правая часть в (25.22) является положительной константой. Таким образом, если то отношение будет стремиться к константе тогда и только тогда, когда Если то мы должны иметь в случае же имеем Определяя асимптотическую относительную эффективность (АОЭ) критерия по сравнению с как

мы, следовательно, получаем, что

Таким образом, для сравнения двух критериев с помощью АОЭ нужно вначале сравнить соответствующие им значения если у одного из них меньше, чем у другого, то первый критерий имеет нулевую АОЭ по сравнению со вторым. Величина играет здесь такую же роль, что и порядок малости дисперсии при измерении эффективности оценки (см. 17.29).

Мы можем теперь ограничиться случаем Тогда соотношения (25.22) и (25.23) дают

Если вдобавок

то (25.25) приводится к виду

Из последнего соотношения, учитывая (25.16), находим

В большинстве задач величину (25.27) легко оценить, и мы часто будем ее использовать в последующих главах для получения АОЭ конкретных критериев. Чаще всего (что соответствует оценке дисперсии порядка Интерпретацию величины см. ниже, в 25.10.

Можно заметить, что если то выражение (25.25) неопределенно и зависит от произвольной постоянной Поэтому критерии с равными значениями имеют разные АОЭ при различных последовательностях альтернатив (25.17), если только значения не одинаковы. Причины этого будут указаны в 25.10.

25.7 Если мы проверяем гипотезу против двусторонней альтернативы то наши результаты об АОЭ остаются в силе, если использовать критические области с «равными хвостами» вида

Действительно, в этом случае асимптотические функции мощности (25.13) заменяются на

и, как и прежде, против альтернативы (25.17) (где уже могут быть любого знака), если выполняются (25.20) и (25.21). Конейн (1956) приводит более общее исследование двусторонних критериев, которые не обязательно имеют «равные хвосты».

Пример 25.2

Пусть проверяется гипотеза о среднем нормальной совокупности с известной дисперсией Сравним критерий, основанный на выборочной медиане х, с РНМ критерием, основанным на выборочном среднем х. Обе статистики асимптотически нормальны. Известно, что

состоятельная оценка параметра которой (см. в примере 10.7)

Таким образом, для обоих критериев имеем

откуда в то же время согласно (25.16) . Следовательно, из (25.27) находим

Тот же самый результат был получен в примере 17.12 для эффективности медианы х при оценке параметра . В 25.13 мы увидим, что это частный случай общей взаимосвязи между эффективностью оценки и АОЭ критериев.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление