Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Инвариантные критерии

24.37 Рассматривая несмещенные критерии для параметров сдвига в 24.20, мы нашли совершенно естественным ввести условие инвариантности (24.61), как необходимое условие, которому должен удовлетворять любой приемлемый критерий. Аналогично, для масштабного параметра в 24.21, переходя с помощью логарифмического преобразования от (24.68) к (24.69), мы неявно предполагали, что статистика должна удовлетворять условию

Часто бывает разумным ограничить класс рассматриваемых критериев теми критериями, которые инвариантны относительно преобразований, оставляющих инвариантной проверяемую гипотезу. Если этого не сделать, например, при проверке равенства параметров сдвига (или масштаба), то изменение начала координат (или единицы измерения) будет влиять на заключения, к которым приводит критерий. Связь между принципами инвариантности и достаточности в общем случае обсуждалась Холлом и др. (1965). Они приводят теорему, принадлежащую Стейну.

и дающую условия, при которых не имеет значения порядок применения этих принципов.

Если рассмотреть с этой точки зрения каноническую форму общей линейной гипотезы из 24.27, то сразу видно, что задача является инвариантной при

(а) любом ортогональном преобразовании вектора (оно оставляет неизменным величину ;

(б) любом ортогональном преобразовании вектора (оно не изменяет ,

(в) прибавлении любой константы а к каждой компоненте вектора (у которого вектор средних произволен);

(г) умножении всех величин на (что влияет только на общую дисперсию

Легко видеть, что статистика инвариантна при всех преобразованиях тогда и только тогда, когда она есть функция только от Ясно, что если зависит лишь от то ее функция мощности, как и функция мощности будет зависеть только от . Следовательно, согласно последнему предложению из 24.36 критерий ОП, отвергающий гипотезу при больших значениях является РНМ среди всех инвариантных критериев для общей линейной гипотезы.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление