Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Оптимальные свойства критерия ОП для общей линейной гипотезы

24.36 В 24.27 мы видели, что (кроме случая для общей линейной гипотезы не существует РНМН критерия. Тем не менее критерий ОП для этой гипотезы обладает определенными оптимальными свойствами, к изложению которых мы сейчас

переходим. При этом будут использованы упрощенные доказательства, принадлежащие Волфовицу (1949) и Леману (1950).

В 24.28 были получены МП-оценки для мешающих параметров при гипотезе Они являются компонентами вектора

определенного перед Когда выполнена гипотеза компоненты вектора образуют систему из достаточных статистик для мешающих параметров. Согласно 23.10 их распределение полно. Таким образом, как показано в 23.19, каждая подобная критическая область размера а для будет содержать долю а каждой поверхности На этой поверхности каждая компонента вектора в частности и постоянна. Положим

где константа.

Рассмотрим теперь фиксированное значение величины X, определенной в (24,101), например Мощность любой подобной области на этой поверхности будет складываться из мощностей на (24.110) при всех а. Для фиксированного а мощность на поверхности равна

где есть ФП, определенная в (24.95). Это можно переписать подробно в виде

Используя (24.110) и (24.101), из (24.112) находим

Вектор исключен в результате интегрирования по всей области его изменения, так как его распределение не зависит от В соотношении (24.113) непостоянным, множителем является

только интеграл. Его нужно сделать максимальным для того, чтобы получить критическую область с максимальным Интеграл берется по поверхности или Он, очевидно, представляет собой монотонно возрастающую функцию от от

Если при фиксированном а в является максимальной, то величина определенная в (24.100), тоже максимальна. Таким образом, при фиксированных максимальное значение величины достигается, когда состоит из больших значений Поскольку приведенное утверждение выполняется для каждого а, то оно будет иметь место и без предположения, что а фиксировано. Следовательно, мы установили, что на любой поверхности критерий ОП, отвергающий гипотезу при больших значениях имеет максимальную мощность. Полученный результат принадлежит Вальду (1942).

В качестве непосредственного следствия получается результат Сюя (1941), утверждающий, что критерий ОП является РНМ среди всех критериев, функции мощности которых зависят только от К.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление