Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Другие свойства критериев ОП

24.24 Кроме состоятельности и несмещенности, что еще, в общем случае, можно сказать о свойствах критериев ОП? Прежде всего, мы знаем, что МП-оценки являются функциями от достаточных статистик (см. 18.4) и, следовательно, статистика ОП (24.4) может быть переписана в виде

где минимальный достаточный вектор для когда выполняется гипотеза достаточная статистика для всех параметров, когда не выполняется. Как мы видели в 17.38, вообще говоря, неверно утверждать, что компоненты вектора включают в себя компоненты достаточная статистика для при гипотезе может уже не составлять часть достаточной системы статистик, построенной, когда не выполняется, и даже если эта статистика входит в указанную систему, то она в отдельности может не быть достаточной для будучи лишь частью вектора достаточного для Таким образом, о статистике I можно лишь сказать, что она есть некоторая функция от двух систем достаточных статистик. В общем случае нет оснований предполагать, что она будет наиболее подходящей функцией.

Легко видеть, что метод ОП не обязательно порождает РНМ критерий, когда последний существует, так как даже в случае проверки простой гипотезы против простой альтернативы он не дает

Для отыскания РНМН критерия метод ОП непосредственно непригоден, поскольку он, вообще говоря, является смещенным.

но, как мы уже видели, с помощью простой поправки эта трудность может быть преодолена. Указанная поправка выражается, в «перераспределении весов» в статистике критерия, что достигается заменой обычных МП-оценок несмещенными оценками (примеры 24.4-24.6). Иногда это эквивалентно исправлению критической области статистики, к которой приводит метод ОП (упражнение 24.14). Упражнение 24.16 показывает, что два РНМ критерия, выведенные в упражнениях 23.25, 23.26 для экспоненциального и прямоугольного распределений, получаются с помощью метода ОП, тогда как РНМН критерий для экспоненциального распределения, приведенный в упражнении 23.24, не эквивалентен критерию ОП, который является смещенным.

Вальд (1943а) доказал, что при условиях регулярности мощность критерия ОП имеет асимптотически некоторые оптимальные свойства (см., однако, 25.4 и пример 25.1). Гёфдинг (1965) получил оптимальное свойство критериев ОП для мультиномиальных распределений, когда размер при возрастании объема выборки.

Принцип ОП является интуитивно привлекательным, когда нет «оптимального» критерия. Он имеет особенную ценность при проверке линейных гипотез (их мы будем рассматривать во второй части данной главы), где в общем случае не существует РНМН критерия. Но необходимо также напомнить, что в исключительных ситуациях метод ОП подвержен ошибкам. Следующий пример, принадлежащий Стейну и приведенный Леманом (1950), служит целебным предостережением против использования этого метода без исследования его свойств в каждом конкретном случае.

Пример 24.7

Дискретная случайная величина х принимает значения 0, ±1, ±2 со следующими вероятностями при гипотезе

Параметры удовлетворяют неравенствам

где известная константа. Мы хотим на основе единственного наблюдения проверить простую гипотезу

против общей альтернативы при гипотезе вероятности имеют вид

Если , то ФП не зависит от и ее безусловный максимум достигается, когда принимает минимально возможное значение, т. е. при Следовательно, статистика ОП равна

Если или —2, то ФП достигает безусловного максимума при выборе соответственно максимально или минимально возможным, т. е. или соответственно, и при выборе максимально возможным, т.е. Максимальное значение ФП равно, следовательно, а, и статистика ОП имеет вид

Так как то из соотношений (24.82) и (24.83) следует, что критерий ОП заключается в отклонении гипотезы На, когда Из (24.81) видно, что размер данного критерия равен а. Но из (24.80) получаем, что его мощность равна в точности Таким образом, для любого значения удовлетворяющего неравенству

критерий ОП будет смещенным при всех тогда как для при любых он имеет мощность, равную его размеру а. В последнем случае приведенный критерий бесполезен, а в случае он хуже, чем бесполезный, потому что критерий размера и мощности а для проверки гипотезы мы можем получить с помощью таблицы случайных чисел. Кроме того, существует полезный критерий, отвергающий Но, когда При этом по (24.81) его размер равен а, а мощность согласно (24.80) равна а что превосходит а, когда выполняется (24.84), и равно а, когда

Помимо дискретности случайной величины, примечательной особенностью этого предостерегающего примера является то, что интервал изменения одного из параметров определяется размером критерия а.

Д. Кокс (1961, 1962) рассматривал распределения статистик ОП, когда Н и образуют совершенно отдельные семейства сложных гипотез (так что (24.5) не выполняется), и получил некоторые результаты в случае больших выборок.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление