Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Достаточность и минимум дисперсии

17.33 Из необходимого и достаточного условия достаточности в форме (17.68) сразу вытекает одно интересное следствие. Беря от обеих частей логарифмы и дифференцируя, мы получаем

Сравнивая (17.71) и условие (17.27) существования МГД-оценки для мы видим, что такая оценка существует, только когда имеется достаточная статистика. Действительно, (17.27) есть просто специальный случай (17.71), именно, когда

Таким образом, хотя на первый взгляд требование достаточности может показаться более ограничительным условием, чем

достижение МГД, в действительности оно менее ограничительно. (17.71) выполняется всегда, когда выполняется (17.27), но даже если (17.27) не выполняется, может оказаться, что достаточная статистика существует.

Пример 17.15

Из рассуждений пункта 17.33 следует, что все найденные нами МГД-оценки (примеры 17.6, 17.8, 17.9, 17.10) будут достаточными статистиками.

Пример 17.16

Рассмотрим задачу оценивания параметра в распределении

Функция правдоподобия (ФП) в этом случае равна

поскольку все наблюдения, включая наибольшее из них не превосходят 0.

Можно также написать

где

Из (17.73) видно, что ФП представляется в виде произведения функции от и от

на функцию от

Следовательно, согласно есть достаточная статистика для 0.

17.34 Достаточная статистика определяется соотношением (17.68) единственным образом с точностью до взаимно однозначных функций от Например, если то (17.68) можно записать в виде

и мы имеем

где является плотностью для не зависит от 0, т. е. статистика и достаточна для 0. Такая неоднозначность, однако, не создает на практике никаких трудностей, поскольку мы выбираем такие функции от которые являются состоятельными и даже обычно несмещенными оценками для 0. Достаточными статистиками в некоторых случаях могут быть и не взаимно однозначные функции от упражнение 23.31).

Если не учитывать неоднозначность этого вида, то достаточная статистика единственна. Действительно, если имеется две достаточные статистики то из (17.67) получаем при

откуда следует функциональное соотношение

Но являются функциями только от наблюдений и не зависят от 0, следовательно, из (17.75) вытекает, что функционально связаны.

17.35 В 17.33 мы видели, что если существует МГД-оценка, то она является достаточной статистикой. Теперь мы докажем более общий результат, принадлежащий Рао (1945) и Блекуэллу (1947) и состоящий в том, что независимо от достижения какой-либо границы дисперсии несмещенная МД-оценка, если она существует, всегда является функцией от достаточной статистики.

Пусть достаточная статистика для некоторая другая статистика с конечной дисперсией и математическим ожиданием

Ввиду (17.68) можно записать (17.76) следующим образом:

Переходя в правой части (17.77) к новым переменным и интегрируя по последним из них, получим

откуда следует, что существует функция от достаточной статистики, являющаяся несмещенной оценкой для Из вывода равенства (17.78) видно, что Далее,

так как (что можно показать, беря условное математическое ожидание относительно Следовательно,

причем равенство имеет место в том и только в том случае, когда Таким образом, имеет меньшую дисперсию, чем t. В 23.9-11 мы увидим, что обычно только одна функция от достаточной статистики имеет заданное математическое ожидание. В этом случае любой выбор приводит к одной и той же оценке Мкоторая и будет единственной несмещенной МД-оценкой для

Полученный результат не всегда легко использовать конструктивно, поскольку может оказаться, что трудно вычислить (один важный класс случаев, когда оценка получается в явном виде, дает упражнение 17.24); однако он гарантирует нам, что несмещенная оценка с конечной дисперсией, являющаяся функцией от достаточной статистики, будет единственной МД-оценкой.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление