Главная > Физика > Курс электродинамики (Измайлов С.В.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Связь вихря магнитного поля с полным током. Первая группа уравнений Максвелла — Лоренца

Выведем основное дифференциальное уравнение, связывающее магнитное поле с плотностью тока. Для этого продифференцируем, выражения для напряженностей электрического и магнитного полей заряда, движущегося относительно медленно

где радиус-вектор точки наблюдения, радиус-вектор заряда являющийся функцией от времени. Выражение для получено при условии, что заряд неподвижен. Однако оно справедливо и в том случае, если заряд движется относительно медленно с постоянной скоростью. Для равномерно движущегося со скоростью заряда напряженность поля в точке будет функцией ее расстояния от заряда

Составим вихрь вектора В. Пользуясь формулой

и принимая во внимание, что не зависит от получим

ибо согласно С другой стороны

Подставляя это в (8.01), находим

Суммируя по всем движущимся зарядам и учитывая, что

получим

Это уравнение показывает, что вихри магнитного поля создаются не только токами, но также и переменным во времени электрическим полем.

Уравнение (8.02) выведено для равномерно и медленно движущихся зарядов. Опыт показывает, что оно справедливо и для произвольного движения зарядов. Последнее нашло отражение в том, что в (8.02) полностью исключены все особенности поля равномерно движущегося заряда, а входят только суммарные величины — плотность тока и напряженности Переписывая (8.02) в форме

видим, что можно ввести полную плотнбсть тока, равную

поэтому

Полная плотность тока есть сумма плотности конвекционного тока и плотности так называемого тока смещения

введенного Максвеллом. Ток смещения существует везде, где есть меняющееся со временем электрическое поле.

Обычно уравнения (4.01) и (8.02) объединяют в так называемую первую группу уравнений Максвелла — Лоренца:

Здесь в левых частях стоят только поля, в правых — заряды и токи. Таким образом, первая группа уравнений Максвелла — Лоренца связывает напряженности полей с зарядами и токами.

Задачи

1. Доказать, что плотность полного тока не имеет источников. Решение. Беря дивергенцию от получим

Но согласно поэтому в силу закона сохранения заряда

Таким образом, вектор не имеет источников, то есть токовые линии всегда замкнуты.

2. Доказать, что из уравнений 1-й группы Максвелла — Лоренца непосредственно вытекает закон сохранения электрического заряда.

Решение. Действительно, из (8.06) имеем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление