Главная > Физика > Курс электродинамики (Измайлов С.В.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 34. Векторный потенциал

Рассмотрим магнитное поле стационарного тока. Пусть плотность тока зависит только от координат и отлична от нуля в конечной области пространства. Поскольку стационарный ток не имеет источников, то

и линии плотности стационарного тока замкнуты. Электрическое поле такого статического распределения заряда определяется формулами § 27.

Магнитное поле стационарного тока согласно (25.03) удовлетворяет уравнениям

Последнее равенство показывает, что магнитное поле является вихревым. Поэтому можно положить

Вектор А называется векторным потенциалом магнитного поля. В случае стационарного поля А зависит только от координат точки.

Векторный потенциал однозначно определяет напряженность магнитного поля. Магнитное поле определяет векторный потенциал с точностью до градиента некоторого скаляра. Действительно, векторный потенциал А, равный

где некоторый скаляр, определяет то же самое поле:

Векторный потенциал можно сделать однозначным, если наложить на него добавочное условие

называемое условием калибровки. Условие калибровки всегда может быть выполнено: если то всегда можно подобрать функцию такую, что

Для определения векторного потенциала подставим В из (34.03) в первое уравнение (34.02). Тогда

В силу условия калибровки (34.05)

Это уравнение определяет векторный потенциал по заданному распределению тока. Оно аналогично уравнению Пуассона (27.01) для скалярного потенциала. Так как функция Грина для оператора Лапласа определена в § 27, то решение (34.06) можно написать сразу

Убедимся, что условие калибровки (34.05) удовлетворяется. Обозначим через V оператор, взятый по координатам точки наблюдения а через V — оператор, взятый по координатам точки источника Заметим, что в применении к функциям от

и

Поэтому

Оператор V введен под знак интеграла потому, что дифференцирование производится по играющему роль параметра. Первый интеграл исчезает, так как его можно по формуле Остроградского преобразовать в интеграл по замкнутой поверхности, на которой нормальная составляющая тока обращается в нуль. Второй интеграл исчезает в силу (34.01). Поэтому условие калибровки выполнено.

Если ток линейный, то где сила тока, элемент длины тока (см. задачу 2 § 7), и векторный потенциал приводится к виду

(интегрирование производится по замкнутому контуру С линейного тока).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление