Главная > Физика > Курс электродинамики (Измайлов С.В.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 23. Закон сохранения момента импульса. Момент импульса электромагнитного поля

В механике частицы из закона импульса вытекает закон сохранения момента импульса. Для электромагнитного поля закон сохранения момента импульса можно получить преобразованием уравнения (15.14), выражающего закон сохранения импульса поля

Умножая (23.01) векторно на радиус-вектор элемента объема

Так как элементы объема неподвижны, то не зависит от следовательно, Очевидно, что вектор

можно истолковать как вектор плотности момента импульса электромагнитного поля. Тогда

есть момент импульса объема V поля.

Преобразуем правую часть (23.02). Пользуясь симметрией тензора имеем для х-овой составляющей

Произведение можно рассматривать как некоторый асимметричный тензор с компонентами

Если циклическая перестановка индексов x, у, z, то (23.05) запишется в виде

Введем векторы плотность потока величины (с обратным знаком). Тогда

Теперь можно написать

Закон сохранения момента импульса в дифференциальной форме принимает вид

Для произвольного объема V, ограниченного поверхностью а, пользуясь формулой (15.09), получим

Так как где плотность сторонней силы, плотность массы частиц, то

Здесь

есть момент импульса частиц в объеме V, а

есть главный момент сторонних сил, действующих в объеме

Уравнение (23.09) принимает вид

Поверхностный интеграл, стоящий в правой части,

можно толковать двояко. С одной стороны, его можно рассматривать как главный момент поверхностных электромагнитных сил, действующих на границу а объема Действительно, момент силы, действующей на единичную площадку с нормалью согласно (23.13) есть Его проекция на ось х в силу (23.07) и (15.08) равна

Но вектор есть сила максвелловских натяжений, действующая на единичную площадку с нормалью Поэтому

есть поверхностная плотность момента этих сил, так что

есть полный момент сил максвелловских натяжений, приложенных к поверхности а объема

С другой стороны, тензор — с составляющими

можно рассматривать как тензор плотности потока момента электромагнитного импульса, как поток момента электромагнитного импульса через поверхность а, взятый со знаком минус.

Пользуясь первым истолкованием величины уравнение (23.12) можно формулировать так: изменение в единицу времени полного момента импульса в объеме V, равного сумме моментов импульса частиц и электромагнитного поля в этом объеме, равно сумме главного момента сторонних сил, действующих на частицы в объеме V, и главного момента поверхностных сил максвелловских натяжений, действующих на границу объема.

При второй интерпретации К уравнение (23.12) запишем в форме

то есть главный момент сторонних сил идет на изменение полного момента импульса в объеме V и на поток электромагнитного момента импульса через поверхность а, ограничивающую объем Предполагается, что частицы не пересекают поверхности и не переносят через нее момент импульса.

Если сторонних сил нет и поверхность а охватывает все поле так, что на (система замкнутая), то

то есть сохраняется полный момент импульса, равный сумме моментов импульса частиц и поля. Так как в процессе движения момент импульса поля может превращаться в момент импульса частиц и обратно (происходит качественное изменение момента импульса), то следует говорить о законе сохранения и превращения момента импульса.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление