Главная > Физика > Курс электродинамики (Измайлов С.В.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 102. Свободные колебания в цепи с емкостью и самоиндукцией

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно включенных емкости С, сопротивления и самоиндукции (рис. 42). Пусть в начальный момент конденсатор заряжен (заряд обкладки и тока нет. Замечая, что и уравнение (100.06) можно написать в форме

Ищем частное решение этого уравнения в форме Характеристическое уравнение имеет корни

Отсюда следует, что при корни характеристического уравнения вещественны и отрицательны. В случае разных корней общее решение имеет вид

и характеризует так называемый апериодический разряд конденсатора (см. задачи).

Рассмотрим случай комплексных корней, если Введем обозначения

Тогда где Общий интеграл может быть написан в форме

Рис. 43.

Начальная амплитуда и начальная фаза а — постоянные, определяемые начальными условиями. Таким образом, в контуре будут происходить затухающие колебания (рис. 43) с циклической частотой Из (102.04) получаем период затухающих колебаний (формула Томсона)

Амплитуда колебаний убывает со временем по показательному закону. Затухание характеризуется обычно логарифмическим декрементом затухания

Поэтому затухающие колебания можно представить в форме

то есть затухание тем больше, чем больше логарифмический декремент затухания.

Если сопротивление мало, колебания будут затухать медленно. Таким «незатухающим» колебаниям соответствует период

Переписав (102.04) в форме видим, что циклическая частота затухающих колебаний тем меньше, чем больше сопротивление При большом обращается в нуль и колебательный разряд конденсатора переходит в апериодический.

Задача

1. Показать, что если в начальный момент то сила тока при апериодическом разряде определяется формулой

где корни (102.02) характеристического уравнения.

2. Показать, что в случае равных корней характеристического уравнения сила тока в контуре при начальных условиях выражается формулой

Указание. В формуле задачи 1 перейти к пределу при

3. Показать, что при результат задачи 1 переходит в результат задачи 1 § 101.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление