Главная > Гидродинамика > Введение в динамику жидкости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Теоремы единственности и минимума диссипации энергии

Докажем, что в заданной области не может быть больше одного решения для распределения скоростей течения с малыми силами инерции и заданными величинами вектора скорости на границе области (включая гипотетическую границу на бесконечности, когда жидкость имеет бесконечную протяженность). Доказательство это по форме весьма похоже на использованноз в § 2.7 при установлении единственности решения для потенциала соленоидального безвихревого поля скорости с заданными граничными условиями. С доказательством непосредственно связан интересный результат, который состоит в том, что течение с малыми силами инерции обладает наименьшей общей скоростью диссипации из всех других течений несжимаемой жидкости в той же области при одних и тех же значениях вектора скорости всюду на границе области. (Оба результата были установлены Гельмгольцем (1868 а).)

Сначала предположил, что и два набора распределений скоростей, давлений и тензора скоростей деформации в определенной области, которые удовлетворяют уравнениям (4.8.1) и (4.8.2); предположим, далее, что во всех точках на границе области Тогда

Этот результат показывает, что величины скоростей деформации всюду в области должны быть равны. Следовательно, разность скоростей представляет движение, в котором никакой элемент жидкости не деформируется и которое должно

быть комбинацией поступательного и вращательного движений жидкости как твердого тела; такое движение исключается граничными условиями, так что всюду в области

Предположил! теперь, что удовлетворяют уравнениям (4.8.1) и (4.8.2) и что соответствуют любому другому течению несжимаемой жидкости в той же самой области (т.е. но уравнение (4.8.1) не удовлетворяется); как и раньше, во всех точках на границе области. Аналогично предыдущему убеждаемся, что

Полная скорость диссипации механической энергии под влиянием вязкости во всей области течения, скорость которого равна есть

и представляет собой сумму полной скорости диссипации, соответствующей течению со скоростью и неотрицательного члена, который равен нулю только при Таким образом, скорость диссипации, соответствующая течению в данной области с пренебрежимо малыми силами инерции, меньше скорости диссипации в любом другом соленоидальном распределении скорости в той же области (включая и распределения, которые удовлетворяют полным уравнениям движения) с одними и теми же значениями скорости во всех точках на границе области.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление