Главная > Гидродинамика > Введение в динамику жидкости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Начало течения в трубе

Наконец мы рассмотрим случай, в котором течение вызывается не движущейся границей, а приложенным градиентом давления. Жидкость, сначала находящаяся в состоянии покоя в длинной трубе кругового поперечного сечения, приводится в движение за счет разности давлений на ее концах, приложенной мгновенно и затем поддерживаемой постоянной. Эта разность давлений немедленно порождает однородный градиент давления вдоль оси трубы, например во всей жидкости, и, следовательно, уравнение, которому должна удовлетворять скорость и вдоль оси трубы, имеет вид

где величина постоянна. Граничные и начальные условия задачи

Уравнение (4.3.17) можно сделать однородным, используя в качестве зависимой переменной отклонение скорости от ее

асимптотически установившегося значения, выражаемого формулой (4.2.5). С указанной новой переменной

приходим к задаче

Частное решение написанного уравнения, удовлетворяющее граничным условиям при есть

где — функция Бесселя первого рода нулевого порядка, а один из положительных корней уравнения Используя полную систему этих частных решений, можно удовлетворить условию при Таким образом, представляется рядом Фурье — Бесселя

коэффициенты которого должны удовлетворять равенству

из которого следует, что

Окончательно распределение скорости выражается формулой

Изменение скорости и поперек трубы представлено на рис. 4.3.3 для нескольких различных значений Вначале вся жидкость имеет ускорение однако по мере того, как скорость возрастает, тормозящее влияние стенок распространяется все дальше

Рис. 4.3.3. Течение в начальном участке круглой трубы. Профили скорости в различные иоиенты времени (Шиманский (1932)).

внутрь жидкости. Центральная часть жидкости, скорость которой возрастает со временем как сужается до тех пор, пока при порядка влияние стенки не распространится на всю жидкость и скорость на оси трубы не перестанет расти. Как и в предыдущих случаях, приближение к установившемуся состоянию определяется в основном первым членом ряда (4.3.19).

Упражнения

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление