Главная > Гидродинамика > Введение в динамику жидкости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Установившееся течение при малом числе Россби

Как было впервые отмечено Праудменом (1916), преобладающее влияние сил Кориолиса при в установившемся

течении относительно вращающихся осей координат приводит к удивительным последствиям. В таком течении частица жидкости все время движется вдоль определенной линии тока, никогда не изменяя направления движения на обратное. Поскольку большие силы Кориолиса препятствуют любому смещению элементов жидкости, приводящему к ненулевому значению расхождения в поперечной плоскости, то отсюда следует, что в пределе при формы линий тока должны соответствовать нулевому расхождению в поперечной плоскости.

Можно вывести этот результат формально, заметив, что если и членом и можно пренебречь по сравнению с силой Кориолиса, то уравнение движения (7.6.1) запишется в виде

т. е.

в системе координат, показанной на рис. 7.6.1. Исключив отсюда давление получим, что в установившемся течении во вращающейся системе координат

и в соответствии с уравнением сохранения массы

Неожиданное свойство этих приближенных уравнений, справедливых при состоит в том, что движение в поперечной плоскости (или в плоскости не связано с движением параллельно оси вращения. Кроме того, течение совершенно не зависит от координаты х. Результат Праудмена иногда формулируется как утверждение, что «медленные» установившиеся движения относительно вращающихся осей координат должны быть двумерными. Поскольку в этой книге мы используем термин «двумерное течение» для выражения того факта, что вектор скорости всюду лежит в некоторой плоскости, здесь более всего уместно сказать, что установившиеся движения при малых числах Россби должны представлять собой наложение двумерного (т. е. плоского) движения в поперечной плоскости и некоторого осевого движения, которое не зависит от координаты х.

Величина компоненты скорости и, параллельной оси вращения, очевидно, определяется граничными условиями. Часто случается, что каждая линия в жидкости, параллельная оси вращения, встречает в какой-либо точке неподвижную границу; в таких

случаях из полученных выше соотношений следует, что всюду должно быть и остается только двумерное движение. На фото 7.6.2 и 7.6.3 (выполненных Дж. Тейлором за много лет до того, как вопрос о вращающихся жидкостях привлек общее внимание) показано течение воды во вращающемся открытом плоском сосуде, которое под действием сил Кориолиса в рассматриваемых условиях действительно становится двумерным.

На фото 7.6.2 мы видим, что капля окрашенной жидкости вытянулась в тонкую пленку под действием «медленного» движения, наложенного на вращающуюся жидкость; две фотографии, сделанные камерой, помещенной на оси вращения сосуда, показывают, что эта пленка краски всюду параллельна оси вращения, а компонента скорости в поперечной плоскости не зависит от х. Еще более удивительна картина течения, полученная путем введения полоски краски в точке А на фото 7.6.3. Движение относительно вращающихся осей координат создавалось здесь медленным перемещением невысокого кругового цилиндра по дну сосуда. Глубина воды в сосуде была 4 дюйма, а высота цилиндра — 1 дюйм; в отсутствие вращения вода обходила бы как боковую, так и верхнюю поверхности движущегося цилиндра. Однако, если краску выпустить в точке А, расположенной на 1,5 дюйма выше цилиндра и непосредственно перед ним (фото 7.6.3, а), то она разделяется в точке В, как будто бы она встретилась с продолжением цилиндра вверх, и обходит этот воображаемый цилиндр двумя отдельными пленками; видно, что одна из них (на стороне даже отрывается от воображаемого цилиндра и формирует вихри. На фото краска была выпущена в точке над цилиндром и собралась в виде единого пятна, движущегося вместе с цилиндром. Создается впечатление, что течение в области вне цилиндра и выше него приближенно такое же, как если бы цилиндр простирался от дна сосуда до поверхности воды, и что в области над цилиндром существует цилиндрический столб воды, движущийся вместе с цилиндром. Таким образом, рассматриваемое движение двумерно в том смысле, что оно согласуется с поступательным перемещением цилиндра даже тогда, когда высота его составляет четвертую часть глубины воды.

Если жидкость не ограничена неподвижными границами, пересекающими линии, параллельные оси вращения, то значение осевой компоненты скорости жидкости обычно определяется условиями на, внутренней границе. Представляет особый интерес течение, образующееся при поступательном перемещении твердого тела со скоростью параллельно оси вращения в жидкости, которая простирается неограниченно в этом направлении. Такое

течение при будет удовлетворять всем указанным выше условиям только тогда, когда жидкость внутри соответствующего цилиндра, охватывающего данное тело, движется параллельно оси вращения вместе с телом, а компонента скорости в поперечной плоскости всюду равна нулю. И в самом деле, эксперименты подтверждают, что тело, движущееся параллельно оси вращения, проталкивает впереди себя столб жидкости, хотя позади тела картина не полностью отвечает описанной выше простой теории. К этим экспериментам мы еще вернемся в конце параграфа.

В тех случаях, когда тело движется либо параллельно оси вращения, либо перпендикулярно ей, изложенная выше теория течения при малом числе Россби приводит к выводу о существовании около тела так называемого «столба Тейлора» из жидкости, параллельного оси вращения и движущегося вместе с телом. На границе этого столба имеются слои сдвига, где завихренность жидкости велика. Следует ожидать, что в этих слоях приближенное линейное уравнение (7.6.2) уже не будет пригодным; отметим также, что поле течения в целом нельзя считать достаточно изученным.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление