Главная > Гидродинамика > Введение в динамику жидкости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Течение с круговыми вихревыми линиями

Полученные выше выражения для распределения скорости, импульса жидкости течения и полной кинетической энергии принимают простую форму в случаях, когда все вихревые линии течения представляют собой концентрические окружности с общей осью симметрии.

Поскольку поле рассматриваемого течения в целом осесимметричное и азимутального движения жидкости нет, то распределение скорости мы можем описать с использованием функции тока одной из ненулевых компонент векторного потенциала В. В цилиндрических координатах векторы всюду параллельны координатной линии согласно (2.4.10), имеем

где

Результирующий импульс, требуемый для создания движения из состояния покоя, определяется посредством (7.2.5) и, очевидно, представляет собой вектор, направленный по оси симметрии и имеющий величину

Для полной кинетической энергии жидкости мы имеем два общих выражения (7.2.7) и (7.2.8), первое из которых в данном случае принимает следующий вид:

Эти формулы легко применить к случаю одиночной круговой вихревой нити радиуса а и напряженности х, расположенной при Как обычно, используя в качестве элемента интегрирования в осевой плоскости, содержащей вихревую нить, мы находим

Интегралы по 6 в (7.2.9) и (7.2.12) можно вычислить при помощи таблиц. Если положить

то (7.2.12) можно переписать следующим образом:

где полные эллиптические интегралы первого и второго рода, численные значения которых затабулированы.

На рис. 7.2.1 показаны линии тока, полученные по (7.2.13). Может показаться несколько странным то обстоятельство, что вблизи пересечения вихревой нити с осевой плоскостью линиями тока оказываются малые замкнутые кривые, вопреки установленному ранее факту стремления осевой компоненты скорости к бесконечности при приближении к вихревой нити по любому

Рис. 7.2.1. Линии тока в осевой плоскости, проведенные через равные интервалы изменения функции тока для течения, индуцированного в покоящейся на бесконечности жидкости одиночной круговой вихревой нитью.

направлению; однако следут вспомнить, что эта осевая скорость возрастает как в то время как циркуляционное движение вокруг вихревой нити имеет скорость, которая изменяется как следовательно, доминирует в этой области.

Для импульса жидкости течения, индуцированного одиночной круговой вихревой нитью, имеем

примечательно, что величина импульса конечна, несмотря на особенность распределения скорости на вихревой нити. Полная кинетическая энергия, естественно, бесконечна, как и для поля течения, индуцированного вихревой нитью произвольной формы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление