Главная > Гидродинамика > Введение в динамику жидкости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Тела, образуемые источниками на оси симметрии

Свойства особенностей типа точечного источника, рассмотренные в § 2.5, могут быть использованы для построения осесимметричных течений частного вида, которые могли бы вызываться движущимся телом, хотя форму тела нельзя выбирать произвольно (за исключением тонких тел, см. § 6.9). Основа метода состоит в следующем. Если некоторое число точечных источников и стоков (возможно также их непрерывное распределение) расположено на оси симметрии в жидкости, покоящейся на бесконечности, а их суммарная интенсивность равна нулю, то все линии тока, выходящие из источников, оканчиваются в стоках. В некоторых обстоятельствах (которые не так просто сформулировать в общем виде) это свойство сохраняется также тогда, когда на течение от источников и стоков наложено равномерное течение, параллельное оси. Тогда в осевой плоскости суммарного течения будет одна замкнутая линия тока, которая окружает источники и стоки и которая отделяет линии тока, выходящие из источников, от линий тока, приходящих из бесконечности, где скорость постоянна; можно считать, что эта линия тока образует поверхность неподвижного твердого тела вращения, обтекаемого однородным потоком, а распределение скоростей можно определить как результирующую индуцированных скоростей всех источников и стоков и однородного потока.

Если в простейшем случае поместить на оси один источник интенсивности и один сток интенсивности (источник вверх по потоку от стока), то очевидно, что никакая из линий тока, приходящая из бесконечности, не попадет в сток, а разделяющая линия тока будет замкнутой. Функция тока течения от источника интенсивности в начале координат есть — Следовательно, для источника интенсивности при для стока интенсивности — при и для однородного потока со скоростью в направлении (при этом в системе отсчета, связанной с жидкостью на бесконечности, тело движется в направлении получается

Принятые обозначения указаны на рис. 6.8.3, на котором изображены также линии тока для одного частного случая. Замкнутая

Рис. 6.8.3. Линии тока течения в осевой плоскости, возникающего в результате наложения течений от точечного источника, от точечного стока равной интенсивности и однородного потока.

линия тока, которая изображает поверхность тела, имеет другую ветвь на оси симметрии вверх и вниз по потоку от тела, где поэтому профиль тела определяется уравнением

Итак, получено семейство возможных форм тел, известных как овоиды Рэнкина (Рэнкин (1871)), соответствующих различным значениям безразмерного параметра По мере того как параметр убывает от больших до малых по сравнению с единицей значений, форма тела плавно меняется от длинной узкой сигарообразной формы до несколько сплюснутой сферы. Когда поверхность тела приближается к сфере радиуса который велик по сравнению с совместное влияние источника и стока в точках вне поверхности тела приближенно такое же, как диполя источников (см. § 2.5) интенсивности в начале координат, расположенного вдоль оси симметрии, о чем уже можно было догадаться при сравнении выражений (2.5.3) и (2.9.26).

Некоторые общие результаты можно установить в случаях, в которых наличие тела в потоке можно заменить непрерывным распределением источников вдоль части оси симметрии. Предположим, что интенсивность источника на отрезке оси от х до равна вне определенной конечной области значений х. Тогда потенциал скорости течения есть

его же можно записать на основании известных свойств полиномов Лежандра в виде

Коэффициенты ряда определяются интегралом

Из выражения (6.8.2) следует, что этот ряд есть частный случай для осесимметричного течения из общего разложения (6.4.1) по сферическим функциям. Коэффициент ряда (6.8.36) равен величине умноженной на тензорный коэффициент порядка в разложении (6.4.1), при этом все индексы принимают одинаковое значение, например 1, что соответствует направлению оси симметрии. Первым ненулевым коэффициентом является К и так как поток массы через поверхность равен нулю, а

Теперь можно использовать выражения кинетической энергии жидкости и присоединенной массы, полученные в § 6.4, и вычислить эти величины для поступательного движения осесимметричного тела в зависимости от коэффициента

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление