§ 3. Упрощенный вариант задачи Дидоны
Предположим, что в силу каких-либо практических соображений Дидона вынуждена была выбрать прямоугольный участок земли как изображено на рис. 25.
Рис. 25. Упрощенный вариант задачи Дидоны.
Если обозначить стороны прямоугольника через х и у, то его периметр будет равен
а его площадь будет равна
Так как величины х и у представляют собой длины отрезков, они, безусловно, неотрицательны. Поскольку
равно периметру
то х и у должны удовлетворять неравенствам
Ясно далее, что площадь
не может быть сколь угодно большой. Действительно, из неравенств (5.3) и выражения (5.2) для площади следует в силу теоремы 5 гл. II, что А не может превысить величины
т. е. что
Каким же образом определить размеры прямоугольника, при которых его площадь будет максимальной?
Обращаясь к теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух чисел, мы видим, что
Это неравенство имеет место для любых неотрицательных чисел
Поскольку в нашем случае
то неравенство (5.5) означает, что
Таким образом, мы видим, что полученная нами приближенная оценка для величины
[см. (5.4)] может быть существенно уточнена. Мы можем, однако, пойти еще дальше. Вспомним, что, как мы установили раньше, неравенство (5.6) обращается в равенство тогда и только тогда, когда
В нашем случае это означает, что новая верхняя оценка
для величины площади достигается в том и лишь том случае, когда
. При любом другом выборе неотрицательных чисел х и у, удовлетворяющих условию (5.1), площадь прямоугольника будет меньше, чем
О чем говорит проведенный нами анализ? Он говорит о том, что площадь прямоугольника периметра
ни в коем случае не может превысить величину
и что это максимальное значение действительно может быть достигнуто, причем в том и только том случае, когда стороны прямоугольника равны друг другу и, значит, равны
Таким образом, чисто алгебраическим путем мы получили доказательство хорошо известного
до некоторой степени интуитизно ясного факта: прямоугольником наибольшей площади, имеющим заданный периметр, будет квадрат.