Главная > Разное > Информационная теория идентификации
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9.3. Оптимальные алгоритмы

Меру качества алгоритмов (9.2.17) будем определять матрицей ковариаций ошибки

или, коротко,

где

В отличие от (1.6.1) и (1.6.2) теперь зависит от времени.

Матрица ковариаций (9.3.2) характеризует скорость сходимости алгоритмов (9.2.17). К сожалению, точное выражение для матрицы ковариаций получить невозможно, поэтому ограничимся нахождением приближенной формулы для Для этого необходимо из (9.2.17) получить выражение для и линеаризовать все содержащиеся в нем нелинейные функции. Вычитаем (9.1.6) из (9 2.17):

Выразим разность вектор-функций через

Линеаризуем невязку:

Согласно (9.2.9) первое слагаемое равно Линеаризуя второе слагаемое, получим

что с учетом (9.2.12) и (9.2.13) дает

Пользуясь (9.3 8), линеаризуем

где Подставляя (9.3.5) и в (9.3.4), получим рекуррентное уравнение для

Учитывая, что независимы, находим условное математическое ожидание

Введем обозначение

Взятие безусловного математического ожидания от обеих частей равенства (9.3.11) дает

Это рекуррентное соотношение позволяет вычислять точность получаемых оценок на каждом шаге при заданных матрицах усиления и нелинейном преобразовании В общем случае оно является приближенным. Для линейного уравнения дрейфа (9.1.6) и при оно становится точным.

Зафиксируем функцию потерь и найдем оптимальную матрицу усиления для которой разность представляет собой неотрицательно определенную матрицу для всех Для этого выделим в (9.3.14) слагаемые, содержащие

Отсюда приходим к выражению

где

Заметим, что от матрицы усиления в (9.3.16) зависит лишь слагаемое поэтому достигает наименьшего значения при такой матрице усиления для которой

При

для всех Приравнивая иэ (9.3.18) нулю, получим

При этом из (9.3.16) следует

Пользуясь формулой обращения матриц (1.7.18), перейдем в (9 3.21) к обратным матрицам:

С ростом а значит и стремится к нулю, следовательно, приближенно

и

В линейном случае, когда имеем поэтому и соотношение (9.3.25) становится точным.

Для нахождения явного выражения для оптимальной матрицы усиления удовлетворяющей соотношению (9.3.13), положим

где некоторый скалярный множитель. Тогда в силу (9.3.21)

и при

равенство (9.3.20) удовлетворяется.

Поскольку то Следовательно,

Тогда

и из (9.3.25) приходим к следующему алгоритму:

или, переходя к обратным матрицам,

где

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление