9.2. Гамма-функция

Начнем с исследования некоторого определенного интеграла как функции параметра Рассмотрим интеграл

Показатель берется для удобства. При можно выполнить интегрирование по частям и получить

или

При имеем

Следовательно, для целых

Гамма-функция дает естественное обобщение факториала, поскольку интеграл существует и для нецелых

Рассмотрим далее гамма-функцию в точке 1/2. Имеем

Подстановкой можно избавиться от корня и привести интеграл к виду

Поскольку подынтегральное выражение является четной функцией, тот же интеграл можно записать в виде

Этот интеграл часто называется интегралом ошибок.

Рассмотрим далее произведение

Формально переходя к полярным координатам, получаем

Поэтому

Для обоснования формального перехода к полярным координатам предположим, что рассматривается интеграл

Рис. 9.2.1. Взаимосвязь прямоугольных и полярных координат

Из рис. 9.2.1 видно, что

или

При получаем

Таким образом, переход от прямоугольных координат к полярным обоснован, и равенство доказано.