Главная > Математика > Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.6. Отображение на срединную поверхность оболочки некоторой поверхности отсчета, отнесенной к ее линиям кривизны

При формулировке основных соотношений механики оболочек сложной формы, как правило, удается выбрать поверхность отсчета, параметризованную в координатных линиях совпадающих с ее линиями кривизны. В этом случае все расчетные формулы, полученные в разделе 5.5, как будет показано ниже, значительно упрощаются.

Итак, пусть поверхность отсчета отображаемая на искомую поверхность а с помощью векторного равенства

отнесена к ее линиям кривизны. Обозначим через единичные векторы координатных линий параметры Ляме -главные кривизны поверхности Для векторов формулы дифференцирования имеют вид

а параметры Ляме и кривизны на удовлетворяют условиям Гаусса и Кодацци

Используя для формулы из (5.128), дифференцируя (5.127) по найдем основные базисные векторы на о

где -параметры Ляме поверхности а, проведенной параллельно поверхности через рассматриваемую точку а -коэффициенты, определяемые по формулам

В соответствии с формулой (5.72) первое слагаемое в (5.130) представляет собой выражение для основного базисного вектора поверхностно, т. е.

откуда следует, что в точке единичный вектор поверхности а совпадает с единичным вектором поверхности

По аналогии с (5.95) вектор единичной нормали к поверхности а представим в виде

Для определения входящих сюда коэффициентов воспользуемся скалярными произведениями

Внося сюда (5.130) и (5.132), находим

Следовательно,

Подстановкой (5; 130) в формулы вычисляем коэффициенты первой квадратичной формы

где -символы Кронекера. Для определения коэффициентов второй квадратичной формы поверхности о запишем производные

воспользовавшись при этом формулами (5.128). Внося (5.135) и (5.130) в формулы (1.27), получим выражения для

где

Дискриминант метрического тензора (5.134) равен

поэтому

Для определения символов Кристоффеля на поверхности а можно по-прежнему воспользоваться формулами (5.115), в которых в силу

или же развернутыми формулами

а для величин в соответствии с (5.83) и имеют место формулы

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление